z^3+z^2+4iz+4i=0
jak to robilem to tak sie zakopalem w obliczeniach ze nic dobrego mi z tego nie wyszlo:|
Jesli ktos moglby pokazac jak takie cos rozwiazac to bylbym bardzo wdzieczny a jesli nie to prosilbym chociaz o podanie metody jak sie w to wgryzc... bo przy tych potegoach z to neiciekawe licby wychodza :/ z gory dzieki
Rozwiaz rownanie.
-
PawelJan
- Użytkownik
- Posty: 971
- Rejestracja: 18 sie 2005, o 12:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oleszyce/Kraków
- Pomógł: 209 razy
Rozwiaz rownanie.
Takie zadania rozwiązujesz tak samo jak i równania w liczbach rzeczywistych, tyle że już się nie boisz pierwiastków z liczb ujemnych.
Na początek zwijasz co możesz, a dużo możesz:
\(\displaystyle{ z^{3}+z^{2}+4iz+4i=z^{2}(z+1)+4i(z+1)=(z^{2}+4i)(z+1)=0}\)
Czyli widzimy że
\(\displaystyle{ z^{2}=-4i \; \; z=-1}\)
Rozwiązazujemy pierwsze rówananie, np. korzystając z postaci trygonomtreycznej liczby zespolonej czy tam wykładniczej i definicji pierwiastka - otrzymujemy
\(\displaystyle{ z=\sqrt{2}-i\sqrt{2} \; \; z=-\sqrt{2}+i\sqrt{2} \; \; z=-1}\)
Na początek zwijasz co możesz, a dużo możesz:
\(\displaystyle{ z^{3}+z^{2}+4iz+4i=z^{2}(z+1)+4i(z+1)=(z^{2}+4i)(z+1)=0}\)
Czyli widzimy że
\(\displaystyle{ z^{2}=-4i \; \; z=-1}\)
Rozwiązazujemy pierwsze rówananie, np. korzystając z postaci trygonomtreycznej liczby zespolonej czy tam wykładniczej i definicji pierwiastka - otrzymujemy
\(\displaystyle{ z=\sqrt{2}-i\sqrt{2} \; \; z=-\sqrt{2}+i\sqrt{2} \; \; z=-1}\)
Rozwiaz rownanie.
czy moglbys troszeczke rozwinac to w jaki sposob wyliczyles z?PawelJan pisze:Czyli widzimy że
z{2}=-4i
Z gory dziekuje!
-
PawelJan
- Użytkownik
- Posty: 971
- Rejestracja: 18 sie 2005, o 12:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oleszyce/Kraków
- Pomógł: 209 razy
Rozwiaz rownanie.
Sprowadzamy liczbę -4i do postaci trygonometrycznej - moduł równy 4, kąt = 3/2 Π.
Pierwiastkujemy: według przepisu, pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej to zbiór n różnych pierwiastków, danych równaniem \(\displaystyle{ \sqrt[n]{Z}=\sqrt[n]{|Z|}(cos(\frac{\phi+2k\pi}{n}) +isin\frac{\phi+2k\pi}{n}), \; k=0,1,...,n}\)
Skąd wychodzą podane przeze mnie pierwiastki, podstawiając kolejno k=0, k=1.
Pierwiastkujemy: według przepisu, pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej to zbiór n różnych pierwiastków, danych równaniem \(\displaystyle{ \sqrt[n]{Z}=\sqrt[n]{|Z|}(cos(\frac{\phi+2k\pi}{n}) +isin\frac{\phi+2k\pi}{n}), \; k=0,1,...,n}\)
Skąd wychodzą podane przeze mnie pierwiastki, podstawiając kolejno k=0, k=1.