równanie w ciele Z

[melix]

Czy ktoś ma pojęcie czy jest jakiś szybszy sposób policzenia tego niż "na piechotę"?

\(\displaystyle{ (z-i)^{5}-(1+i\sqrt{3})z=-i(1+i\sqrt{3})}\)

Będę wdzięczna za każdą pomoc.

[Mariusz M]

Czy ktoś ma pojęcie czy jest jakiś szybszy sposób policzenia tego niż "na piechotę"?

\(\displaystyle{ \left(z-i\right)^5-\left(1+i\sqrt{3}\right)z=-i\left(1+i\sqrt{3}\right)}\)

Będę wdzięczna za każdą pomoc.

Na przyszłość używaj TEX wtedy twoje "posty" będą bardziej czytelne

Skorzystać z dwumianu Newtona aby otrzymać wielomian piątego stopnia
sprawdzić czy wielomian ten jest rozwiązywalny

Rozwiązanie to

\(\displaystyle{ z_1=i+ \sqrt[4]{1+i\sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ z_2=i- \sqrt[4]{1+i\sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ z_3=i+ \sqrt{-\sqrt{1+i\sqrt{3}}}}\)

\(\displaystyle{ z_4=i- \sqrt{-\sqrt{1+i\sqrt{3}}}}\)

\(\displaystyle{ z_5=i}\)

Zresztą łatwo zauważyć że \(\displaystyle{ z_5=i}\) jest pierwiastkiem
Później wystarczy podzielić przez dwumian \(\displaystyle{ \left( z-i\right)}\) i za pomocą metody Ferrariego lub
Descartesa - Eulera obliczyć pozostałe pierwiastki

[Maciej87]

Nie rozkładaj potęgi nawiasu.
Niech \(\displaystyle{ w=z-i}\). Wtedy mamy równanie \(\displaystyle{ w\cdot\left(w^4-\left(1+\sqrt{3}i}\right)\right)=0}\).
Trzeba będzie wyciągnąć pierwiastki czwartego stopnia z \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i}}\)- łatwo przez postać trygonometryczną.