Czy ktoś ma pojęcie czy jest jakiś szybszy sposób policzenia tego niż "na piechotę"?
\(\displaystyle{ (z-i)^{5}-(1+i\sqrt{3})z=-i(1+i\sqrt{3})}\)
Będę wdzięczna za każdą pomoc.
równanie w ciele Z
równanie w ciele Z
Ostatnio zmieniony 15 mar 2009, o 09:35 przez Nakahed90, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu. Proszę zapoznać się z instrukcją LaTeX-a: http://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Poprawa zapisu. Proszę zapoznać się z instrukcją LaTeX-a: http://matematyka.pl/latex.htm.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
równanie w ciele Z
Na przyszłość używaj TEX wtedy twoje "posty" będą bardziej czytelnemelix pisze:Czy ktoś ma pojęcie czy jest jakiś szybszy sposób policzenia tego niż "na piechotę"?
\(\displaystyle{ \left(z-i\right)^5-\left(1+i\sqrt{3}\right)z=-i\left(1+i\sqrt{3}\right)}\)
Będę wdzięczna za każdą pomoc.
Skorzystać z dwumianu Newtona aby otrzymać wielomian piątego stopnia
sprawdzić czy wielomian ten jest rozwiązywalny
Rozwiązanie to
\(\displaystyle{ z_1=i+ \sqrt[4]{1+i\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ z_2=i- \sqrt[4]{1+i\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ z_3=i+ \sqrt{-\sqrt{1+i\sqrt{3}}}}\)
\(\displaystyle{ z_4=i- \sqrt{-\sqrt{1+i\sqrt{3}}}}\)
\(\displaystyle{ z_5=i}\)
Zresztą łatwo zauważyć że \(\displaystyle{ z_5=i}\) jest pierwiastkiem
Później wystarczy podzielić przez dwumian \(\displaystyle{ \left( z-i\right)}\) i za pomocą metody Ferrariego lub
Descartesa - Eulera obliczyć pozostałe pierwiastki
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
równanie w ciele Z
Nie rozkładaj potęgi nawiasu.
Niech \(\displaystyle{ w=z-i}\). Wtedy mamy równanie \(\displaystyle{ w\cdot\left(w^4-\left(1+\sqrt{3}i}\right)\right)=0}\).
Trzeba będzie wyciągnąć pierwiastki czwartego stopnia z \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i}}\)- łatwo przez postać trygonometryczną.
Niech \(\displaystyle{ w=z-i}\). Wtedy mamy równanie \(\displaystyle{ w\cdot\left(w^4-\left(1+\sqrt{3}i}\right)\right)=0}\).
Trzeba będzie wyciągnąć pierwiastki czwartego stopnia z \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i}}\)- łatwo przez postać trygonometryczną.