Zadanie z liczb zespolonych 2

[petro]

Proszę znaleźć moduł i fazę liczby zespolonej \(\displaystyle{ (1+cos\alpha+isin\alpha)^{n}}\).

Wskazówka: Przydają się kąty połówkowe i wzór de Moivre`a.

[pc]

Bardzo bym prosił o pomoc, bo również ja mam z tym samym zadaniem problem.

[Maciej87]

Z obrazka widać że argument liczby \(\displaystyle{ w=1+z}\) gdzie \(\displaystyle{ z=\cos \alpha + i \sin \alpha}\) wynosi
\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\).
Na obrazku będzie trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ 0,z,z+1}\) który jest równowamienny \(\displaystyle{ |z+1-z|=|z-0|=1}\)
Żeby ustalić moduł, można odpalić w tym trójkącie wzór sinusów
\(\displaystyle{ \frac{|w|}{\sin\alpha}=\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}}}\),
skąd \(\displaystyle{ |w|=2\cos\frac{\alpha}{2}}\)
I po zadaniu.

[pc]

Wysłałem do pana profesora prowadzącego ćwiczenie maila z pytaniem o to zadanie i otrzymałem taką odp:

Trzeba "na sile" wprowadzic katy polowkowe. Potem sie
okaze, ze to sie oplaca.
A wiec zapisujemy kat alfa jako podwojona polowke kata alfa i
stosujemy do obydwu funkcji trygonometrycznych szkolne
wzory na sinus i kosinus kata podwojonego. Jedynke obecna
w nawiasie przedstawiamy jako jedynke trygonometryczna (z
udzialem kata polowkowego).
Upraszczamy kwadrat sinusa kata polowkowego, wylaczamy
przed nawias podwojony kosinus kata polowkowego i
korzystamy ze wzoru de Moivre'a.

Zrobiłem więc zgodnie z zaleceniami i otrzymałem:
\(\displaystyle{ [\sin^2(\frac{1}{2}\alpha) + \cos^2(\frac{1}{2}\alpha) + \cos^2(\frac{1}{2}\alpha) - \sin^2(\frac{1}{2}\alpha) + i(2sin(\frac{1}{2}\alpha)*cos(\frac{1}{2}\alpha)]^n = [ 2\cos^2(\frac{1}{2}\alpha) + i(2sin(\frac{1}{2}\alpha)*cos(\frac{1}{2}\alpha)]^n}\)
niestety nie wiem co zrobić dalej, dlatego bardzo bym prosił o pomoc, bo męcze już to zadanie 4h :/

[Maciej87]

Oczywiście że trzeba. Pytanie jak to zrobić żeby było bezboleśnie i do zrozumienia.
Jak pan profesor chce wprowadzać na siłę, przez czyste rachunki, to niech sobie wprowadza.
Wg mnie proste rozwiązanie mamy. Widać skąd się kąty połówkowe biorą.
Poza tym podałem argument i moduł liczby w nawiasie.
Jakie tożsamości trygonometryczne trzeba zastosować, wynika od razu z tego co napisałem-
żeby nie było wątpliwości, to jest ten sam sposób, tylko nastawiony na wyprowadzenie, nie zgadywanie tożsamości.
A więc, powtarzam się, wszystko zostało napisane:
\(\displaystyle{ 1+\cos\alpha+i\sin\alpha=2\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}\right)}\)
widać stąd że używamy takich tożsamości
\(\displaystyle{ \sin(2z)=2\sin z \cos z}\) oraz \(\displaystyle{ 1+\cos(2z)=2\cos^{2}z}\)