Pierwiastek z liczby zespolonej

[jarosz]

Przede wszystkim witam na forum

Mam prośbę, czy ktoś mógłby krok po kroku opisać jak rozwiązać coś takiego:
\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\)
Znam te wszystkie wzory, ale chciałbym zobaczyć rozwiązanie, żeby dokładnie podłapać o co chodzi...

[kuch2r]

liczbe zespolona mozna zapisac w postaci \(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ z^2=a^2-b^2+2abi}\)
dla naszego zadania:

\(\displaystyle{ z_1^2=-3-4i}\)
dwie liczby zespolony dajmy \(\displaystyle{ z \ i\ z_1}\) sa rowne wtedy i tylko kiedy czesci rzeczywista i czesc urojona sa sobie rowne.

tworzymy układ równan:
\(\displaystyle{ a^2-b^2=-3\\2ab=-4}\)

no i na koniec rozwiazujemy dany uklad rownan

[jarosz]

dzięki śliczne, a coś takiego:

\(\displaystyle{ (2+i\sqrt{12})^5}\)

[PawelJan]

Jak potęgujemy liczy zespolone najlepiej skorzystać ze wzoru de Moivre'a, czyli najpierw przedstawić liczbę zespoloną w postaci trygonometryczej:

\(\displaystyle{ a+bi=\sqrt{a^{2}+b^{2}}(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}-i\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}})=\sqrt{a^{2}+b^{2}}(cos\phi+isin\phi)}\)

Czyli \(\displaystyle{ cos\phi=1/2; \; sin\phi=\frac{\sqrt{3}}{2}}\), skąd φ=Π/3.

Wzór de Moivre'a: \(\displaystyle{ [|Z|(cos\phi+isin\phi]^{n}=|Z|^{n}(cos(n\phi)+isin(n\phi))}\)

Czyli u nas dla n=5 mamy \(\displaystyle{ x=4^{5}(cos\frac{5\pi}{3}+isin\frac{5\pi}{3})=1024(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=512(1-\sqrt{3}i)}\)

\(\displaystyle{ x=512(1-\sqrt{3}i)}\)

[jarosz]

dzięki

Kolejne zadanie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2-2i}}\)

\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}}\)
\(\displaystyle{ \phi=arctg\frac{2}{2}=\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ k=0 \sqrt[3]{\sqrt{8}}\cdot(cos(\frac{\frac{\pi}{4}+2\cdot0\cdot\pi}{3})+isin(\frac{\frac{\pi}{4}+2\cdot0\cdot\pi}{3}))=\sqrt[3]{\sqrt{8}}\cdot(cos\frac{\pi}{12}+isin\frac{\pi}{12})}\)

dobrze to liczę?

[PawelJan]

Dobrze, tylko że nie pi/4 tylko -pi/4, bo masz arctg z -1.
Ten pierwiastek z modułu to po prostu √2, a w kosinusie jest oczywiście 12 w mianowniku