Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych

[WojtekF]

witam ) prosilbym o pomoc w rozwiazaniu kilku zadan ;P

1) \(\displaystyle{ i^{62} \cdot (3+2i)^{2}}\)

2) \(\displaystyle{ \sqrt{ \sqrt{3}-i }}\)

3) \(\displaystyle{ (-1+i)^{15}}\)

[miodzio1988]

1) wskazowka: \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\) . Mozesz normalnie podniesc liczbe zespoloną do kwadratu za pomocą wzoru skroconego mnozenia.
2)wzor de Moivre'a
3)wzor de Moivre'a

Jakis problem? pisz. Ale problem ma byc konkretny.

[WojtekF]

1)Mozesz normalnie podniesc liczbe zespoloną do kwadratu za pomocą wzoru skroconego mnozenia.

takie pytanie jeszcze - a jak juz podniose ta liczbe za pomoca wzoru skroconego mnozenia to mam co mam z tym dalej zrobic?? pomnozyc razy to -1 ?? na prawde tego nie czaje...

i jeszcze jedno zadanie

\(\displaystyle{ \left|z-4\right| + z = 3-2i}\)

babka mówiła nam, ze tego nie robi sie jak zwyklego rownania, tylko trzeba zastosowac sie do jakiegos prawa, co do tych rownan...

[miodzio1988]

jaka jest tresc zadania? Uproscic wyrazenie , tak? Wiec jak juz podniesiesz to wyrazenie bedzie uproszczone.

w tym nowym zadaniu mozesz zrobic podstawienie: \(\displaystyle{ z=a+bi}\) i na piechote policzyc.

[WojtekF]

jesli nie jest to dla Ciebie problemem, to moze pomoglbys mi w rozwiazaniu tego?? potrzebuje tylko raz to zrobic porzadnie, zebym wreszcie zalapal o co w tym chodzi... tzn ja bede robic a Ty ewentualnie moglbys cos mi podpowiedziec??

wiec 1) \(\displaystyle{ i^{62} \cdot (3+2i)^{2} = -1 \cdot 9 + 2 \cdot 3 \cdot 2i + 2i^{2} = -11 + 12i}\) ??

2) wyliczylem sobie modul, zaznaczylem to w ukladzie, wypadla 4 cwiartka. na zajeciach robilismy to, ze wtedy odejmowalo sie od \(\displaystyle{ 2\pi - \phi}\). ale nie wiem, czy w tym wypadku tez, czy po prostu podstawiam sobie do wzoru \(\displaystyle{ \phi}\) a pozniej zamieniam to na iles tam \(\displaystyle{ \pi}\) ??

[Eclipt]

1) Zgubiłeś nawiasy. Powinno być:
\(\displaystyle{ -1 \cdot ( 9+2 \cdot 3 \cdot 2i+ (2i)^2)}\)
2) Jeżeli masz liczbę zespoloną w postaci a+bi, to argument liczy się tak, że \(\displaystyle{ tg\phi= \frac{b}{a}}\), pamiętając, że jak zauważyłeś, liczba leży w 4. ćwiartce.

[WojtekF]

2) Jeżeli masz liczbę zespoloną w postaci a+bi, to argument liczy się tak, że \(\displaystyle{ tg\phi= \frac{b}{a}}\), pamiętając, że jak zauważyłeś, liczba leży w 4. ćwiartce.

1) dlaczego \(\displaystyle{ tg\phi= \frac{b}{a}}\) ?? na zajeciach jak szukalismy argumentow to zazwyczaj byl \(\displaystyle{ cos}\) ?

2) przeciez jak wezmiemy w tym przypadku \(\displaystyle{ tg\phi= \frac{b}{a}}\) to będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{3}}}\) i trudno bedzie to zamienic na jakies \(\displaystyle{ \pi}\) ...

[Eclipt]

1) Kwestia metody. Ja uważam że z tangensem jest najszybsza, bo nie trzeba przy tym liczyć .
2) dla
\(\displaystyle{ z= \sqrt{3} - i \\
a= \sqrt{3} \\
b=-1 \\
tg\phi = \frac{-1}{ \sqrt{3} }}\)

Stąd trzeba wymyślić, dla jakiegp \(\displaystyle{ \phi}\), jego tangens będzie równy \(\displaystyle{ \frac{-1}{ \sqrt{3} }}\). W tym przypadku będzie to \(\displaystyle{ -30^0 (- \frac{\pi}{6})}\), lub \(\displaystyle{ 120^0 ( \frac{5\pi}{6})}\). Ponieważ punkt leży w 4. ćwiartce, prawidłowy będzie pierwszy kąt.

[WojtekF]

nio oki:D to juz czaje ;PP ale jak wezme sobie tego tangensa, to moge go pozniej podstawic za cosinusa i sinusa?? to wychodzi na to samo?? a jesli moge podstawic sobie, to mam takie pytanie:
na zajeciach robilismy przyklad, nio i liczylismy k=0 i bylo cos takiego \(\displaystyle{ w _{0}= \sqrt{2} \left(cos \frac{pi}{ \frac{3}{2}} + isin \frac{pi}{6} \right) = \sqrt{2} \left(cos \frac{ \sqrt{3} }{2} + isin \frac{1}{2} \right) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \left( \sqrt{3} + 1 \right)}\)

i dlaczego nagle z \(\displaystyle{ w _{0}= \sqrt{2} \left(cos \frac{pi}{ \frac{3}{2}} + isin \frac{pi}{6} \right)}\)

zrobilo sie \(\displaystyle{ \sqrt{2} \left(cos \frac{ \sqrt{3} }{2} + isin \frac{1}{2} \right)}\) ??