Witam mam problem z dwoma zadaniami . Mam narysowaś je na płaszczyźnie zespolonej :
\(\displaystyle{ A=\{ z\in C:\quad 1< \left|z+1-i \right|<2 \wedge 0<Im(iz)<2 \}}\)
\(\displaystyle{ B=\{ z\in C:\quad 0< Arg( z^{5})< \frac{\pi}{3} \}}\)
Płaszczyzna zespolona
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Płaszczyzna zespolona
\(\displaystyle{ A:\\
1<|z+1-i|<2\\
1<|x+iy+1-i|<2\\
1<|x+1+i(y-1)|<2\\
1<\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}<2\\
1<(x+1)^2+(y-1)^2<4\\}\)
Czyli mamy pierscien o srodku w punkcie: \(\displaystyle{ (-1,1)}\) i promieniu wewnetrznym \(\displaystyle{ r_{in}=1}\) i promieniu zewnetrznym \(\displaystyle{ r_{out}=2}\).
Dalsza czesc:
\(\displaystyle{ 0<\Im(iz)<2\\
iz=i(x+iy)=ix-y\\
\Im(iz)=x\\
0<x<2\\}\)
Wiadomo co to jest - pas zawarty miedzy prostymi \(\displaystyle{ x=1,\; x=2}\).
Czesc wspolna obu tych obszarow (pierscien i pas) daje ci odpowiedz.
\(\displaystyle{ B:\\
z=x+iy=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|z|e^{i\varphi}\\
z^5=(x+iy)^5=|z|^5[\cos(5\varhi)+i\sin(5\varphi)]=|z|^5e^{i5\varphi}\\
\Arg(z^5)=5\varphi\\
0<5\varphi<\frac{\pi}{3}\\
0<\varphi< \frac{\pi}{15}\\
\varphi\in\left[0;\frac{\pi}{15}\right]}\)
Czyli poprostu wycinek plaszczyzny zawarty miedzy polprostymi o poczatku w punkcie (0,0) i polozonymi pod katami 0 i \(\displaystyle{ \frac{\pi}{15}(12^{\circ})}\) od dodatniej czesci osi OX.
Pozdrawiam.
1<|z+1-i|<2\\
1<|x+iy+1-i|<2\\
1<|x+1+i(y-1)|<2\\
1<\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}<2\\
1<(x+1)^2+(y-1)^2<4\\}\)
Czyli mamy pierscien o srodku w punkcie: \(\displaystyle{ (-1,1)}\) i promieniu wewnetrznym \(\displaystyle{ r_{in}=1}\) i promieniu zewnetrznym \(\displaystyle{ r_{out}=2}\).
Dalsza czesc:
\(\displaystyle{ 0<\Im(iz)<2\\
iz=i(x+iy)=ix-y\\
\Im(iz)=x\\
0<x<2\\}\)
Wiadomo co to jest - pas zawarty miedzy prostymi \(\displaystyle{ x=1,\; x=2}\).
Czesc wspolna obu tych obszarow (pierscien i pas) daje ci odpowiedz.
\(\displaystyle{ B:\\
z=x+iy=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|z|e^{i\varphi}\\
z^5=(x+iy)^5=|z|^5[\cos(5\varhi)+i\sin(5\varphi)]=|z|^5e^{i5\varphi}\\
\Arg(z^5)=5\varphi\\
0<5\varphi<\frac{\pi}{3}\\
0<\varphi< \frac{\pi}{15}\\
\varphi\in\left[0;\frac{\pi}{15}\right]}\)
Czyli poprostu wycinek plaszczyzny zawarty miedzy polprostymi o poczatku w punkcie (0,0) i polozonymi pod katami 0 i \(\displaystyle{ \frac{\pi}{15}(12^{\circ})}\) od dodatniej czesci osi OX.
Pozdrawiam.