Oblicz pierwiastki

[farianek]

Oblicz pierwiastki:
\(\displaystyle{ \sqrt{{(3-5i)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(1+i)^{6}}}\)
Jak zaczyna się takie zadanie?

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ (3-5i)^2=
9-30i-25=-16-30i\\
w=\sqrt{-16-30i}\\
w^2=-16-30i\\
(a+bi)^2=-16-30i\\
a^2-b^2+2abi=-16-30i\\
\begin{cases}
a^2-b^2=-16\\
2ab=-30\end{cases}}\)

Rozwiazujesz uklad i masz dwa rozwiazania

2.
\(\displaystyle{ (1+i)^6=[(1+i)^2]^3=[1+2i+i^2]^3=(2i)^3=8i^3=-8i\\
w=\sqrt[3]{-8i}\\
w^3=-8i\\
w^3=8(-i)=8\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right)\\
w_k=2\left(\cos \frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}\right),\;\;\;k\in\{0,1,2\}\\}\)
Podstawiasz i masz 3 pierwiastki.

Pozdrawiam.