zera wielomianu w zbiorze

[msx100]

Witam! Nie wiem czy jest to dobry dzial ale nie wiem gdzie konkretnie to zadanie umiescic, mianowicie chodzi o zadanie:
Ile zer wielomianu \(\displaystyle{ P(z) \equiv z^{2008}-2007z^{2000}+2006i}\) leży w zbiorze \(\displaystyle{ \{z \in \mathbb{C} : |z|>1\}}\)?
bylbym wdzięczny za odpowiedz z komentarzami. z góry dziekuje

[Maciej87]

Zastanówmy się ile zer leży w kole \(\displaystyle{ |z|\leq 1}\).
Zastosujemy twierdzenie Rouchego.
Rozpatrzmy taką nierówność
\(\displaystyle{ \left|z^{2008}+2006i\right| < \left|-2007z^{2000}\right|}\)
na okręgu \(\displaystyle{ |z|=r}\).
Jeśli jest spełniona, to wielomian \(\displaystyle{ W(z)=z^{2008}+2006i-2007z^{2000}}\) ma tyle zer wewnątrz koła co \(\displaystyle{ -2007z^{2000}}\).
Niestety, \(\displaystyle{ r=1}\) nie działa, równość jest tylko nieostra.
A gdyby działało, trzeba dodatkowo sprawdzić pierwiastki na \(\displaystyle{ |z|=1}\).
Spróbujmy z \(\displaystyle{ r}\) bliskim \(\displaystyle{ 1}\) żeby obejść ten problem.
Do nierówności wystarczy by
\(\displaystyle{ \left|z^{2008}+2006i\right| \leq r^{2008}+2006 < 2007r^{2000}=\left|-2007z^{2000}\right|}\).
Popatrzmy na nierówność
\(\displaystyle{ r^{2008}+2006 < 2007r^{2000}}\).
Przez analizę funkcji rzeczywistej \(\displaystyle{ h:r \rightarrow r^{2008}+2006- 2007r^{2000}}\)
pokazujemy że jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ 1<r<1+\varepsilon}\)
czyli z prawej strony \(\displaystyle{ 1}\).
Uzasadnienie \(\displaystyle{ h(1)=0,h'(1)<0}\) czyli z ciągłości \(\displaystyle{ h'}\) funkcja \(\displaystyle{ h}\) maleje w otoczeniu \(\displaystyle{ 1}\). Koniec uzasadnienia.
Stąd przy \(\displaystyle{ r \to 1^{+}}\) nasz wielomian ma tyle samo zer w kole \(\displaystyle{ |z| < r}\) co \(\displaystyle{ f(z)=-2007z^{2000}}\).
Wynika stąd że w kole domkniętym \(\displaystyle{ |z| \leq 1}\) ilość zer \(\displaystyle{ W}\) i \(\displaystyle{ f(z)}\) jest taka sama, bo dla \(\displaystyle{ r}\) dostatecznie bliskiego \(\displaystyle{ 1}\), w obszarze \(\displaystyle{ 1<|z|<r}\) nie mają zer.

[msx100]

dzieki

[Maciej87]

Bardzo proszę.
Aha, dla porządku- choć pewnie wiesz jak znasz Rouchego i te sprawy- zera liczymy z krotnościami, czyli taki \(\displaystyle{ z^{2000}}\) ma ich \(\displaystyle{ 2000}\).
Oby więcej takich zadań, bo tutaj wszyscy chcą tylko potęgi liczb zespolonych liczyć.
A przecież to strasznie nudne.