Narysowac zbiory na płaszyźnie Gaussa

[erwinam]

Na płaszczyźnie zespolonej narysowac zbiory.
\(\displaystyle{ A=\{ z\in C:\quad 1 < \left|z+4 \right| \le 6 \}}\)
\(\displaystyle{ B=\{ z\in C:\quad \left|iz-1 \right| \le 6 \wedge Arg < \frac{7}{6}\pi \}}\)
\(\displaystyle{ C=\{ z\in C:\quad \left| \frac{z+3i}{z} \right|>1 \}}\)

[Crizz]

Warunek nałożony na zbiór A:
\(\displaystyle{ 1<|z+4| \le 6}\)
niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\), wówczas:
\(\displaystyle{ 1<\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}} \le 6}\)
\(\displaystyle{ 1<(x+4)^{2}+y^{2} \le 36}\),
zatem na płaszczyźnie Gaussa będzie to pierścień kołowy o promieniu zewnętrznym równym 6, wewnętrznym 1 oraz o środku w punkcie \(\displaystyle{ (-4,0)}\) (sprawdź jeszcze obliczenia)

Pierwszy z warunków nałożony na zbiór B:
\(\displaystyle{ |iz-1| \le 6}\)
niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\), wtedy:
\(\displaystyle{ |xi-(y+1)| \le 6}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+(y+1)^{2} \le 36}\),
zatem na płaszczyźnie Gaussa będzie to iloczyn mnogościowy koła o promieniu 6 i środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,-2)}\) oraz kąta opisanego warunkiem \(\displaystyle{ Arg(z)<\frac{7}{6}\pi}\).

Warunek nałożony na zbiór C przekształcamy do postaci:
\(\displaystyle{ |z+3i|>|z|}\), od razu wykluczając punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\). Dalej już sobie poradzisz.

[erwinam]

Mógłbyś mi powiedzie jak narysowac ten \(\displaystyle{ Arg< \frac{7}{6} \pi}\), bo niestety nie wiem , jak ten kąt zaznaczyc

[Crizz]

Zapewne tak

[Maciej87]

Co do zadań typu (a), bo widzę że jest ich sporo na forum.
Równanie \(\displaystyle{ 1<\left|z-(-4)\right|<6}\)
to pierścień kołowy z samej definicji modułu.
Bo \(\displaystyle{ \left|z-z_0\right|<r}\) to nic innego jak definicja koła o śrdoku \(\displaystyle{ z_0}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\).
Chodzi mi o to, że za dużo rozwiązań opiera się na przechodzeniu do \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i twardym liczeniu.
Własności geometrycznych wtedy wcale nie widać.
Jeszcze taki przypadek:
\(\displaystyle{ |iz-1|<6}\).
Wiemy że \(\displaystyle{ |w-1|<6}\) to stosowne koło o \(\displaystyle{ z_0=1,r=6}\).
Żeby dostać \(\displaystyle{ z}\) takie że \(\displaystyle{ w=iz}\), należy wziąć
\(\displaystyle{ z=-i\cdot w}\) czyli obrócić nasze koło, mnożąc przez \(\displaystyle{ -i}\). Jest to obrót o \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\), w związku z czym mamy koło \(\displaystyle{ z_0=-i,r=6}\)

[Crizz]

Maciej87, w sumie to masz rację, tylko ciężko w ten sposób wytłumaczyć zadanie komuś, kto nie zna konstrukcji płaszczyzny Gaussa przez obrót (albo wzorów na obrót w układzie współrzędnych, działań na argumentach, czegokolwiek) i mi np nie chciało by się co chwilę pisac postów w stylu "skąd to się wzięło". Ale byłoby fajnie, gdybyś napisał do takich zadań jakąs teorię w kompendium

[Maciej87]

Mmm. Crizz, w sumie Ty też masz rację.
Trochę mnie rozczarowało, bo ten dział przez zadania stoi dość nisko. Liczymy tu w kółko potęgi i przekształcamy moduły. A mnie Funkcje Analityczne i przekształcenia zespolone oczarowały. Tu mnie boli Osobiście geometrii analitycznej bardzo nie lubię.
A tak poważnie, to może i lepiej jak sobie policzą równania. Aczkolwiek obstawiam że będą się zastanawiać po co każą im się uczyć liczb zespolonych, skoro żadnych ułatwień nie wnoszą.
Ale to nie nasz problem