Mam pytanie, w jaki sposób najlepiej podchodzic do tego typu zadań. Jednocześnie proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych:
Należy rozłożyc na ułamki proste poniższe funkcje w zbiorze l. rzeczywistych i zespolonych
1) \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x^4+2x^3+4x^2-2x-5}}\)
2) \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2+5x}{x^4-4x+3}}\)
Rozkład na ułamki funkcji w zbiorze liczb zespolonych
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozkład na ułamki funkcji w zbiorze liczb zespolonych
Po pierwsze trzeba rozlozyc mianownik na czynniki liniowe badz kwadratowe
W pierwszym przykladzie skorzystamy z metody Ferrariego rozwiazywania rownan czwartego stopnia
a w drugim przykladzie skorzystamy z metody Descartesa Eulera
\(\displaystyle{ x^{4}+2x^{3}+4x^{2}-2x-5=0}\)
\(\displaystyle{ x^{4}+2x^{3}=-4x^{2}+2x+5=0}\)
\(\displaystyle{ x^{4}+2x^{3}+x^{2}=-3x^{2}+2x+5=0}\)
\(\displaystyle{ \left(x^{2}+x\right)^{2}=-3x^{2}+2x+5=0}\)
\(\displaystyle{ \left(x^{2}+x+ \frac{y}{2} \right)^{2}=\left(y-3\right)x^{2}+\left(y+2\right)x+ \frac{y^{2}}{4} +5=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ \left(y+2 \right)^{2}= \left( y^{2}-20\right) \left( y-3\right)}\)
\(\displaystyle{ y^{2}+4x+4 = y^{3}-3y^{2}+20x-60}\)
\(\displaystyle{ y^{3}-4y^{2}+16x-64=0}\)
\(\displaystyle{ y^{2} \left( y-4\right) +16 \left( y-4\right) =0}\)
\(\displaystyle{ \left( y-4\right) \left(y^{2}+16 \right)=0}\)
\(\displaystyle{ y_{1}=4}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+x+2\right) ^2=x^{2}+6x+9}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+x+2\right) ^2= \left( x+3\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+x+2+x+3\right) \left( x^{2}+x+2-x-3\right) =0}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+2x+5\right) \left( x^{2}-1\right) =0}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+2x+5\right) \left( x-1\right) \left(x+1 \right) =0}\)
\(\displaystyle{ \left(x+1+2i) \left( x+1-2i\right) \left(x+1 \right) =0}\)
\(\displaystyle{ x^4-4x+3=0}\)
\(\displaystyle{ t^3-12t-16=0}\)
\(\displaystyle{ u^{2}-16u+64=0}\)
\(\displaystyle{ \left( u-8\right)^2=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{1}=2 \\ u_{2}=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=2+2=4}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=2 \left( \frac{-1-\sqrt{3}}{2} \right)+2 \left( \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \right)=-1-i\sqrt{3}-1+i\sqrt{3}=-2}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=2 \left( \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \right)+2 \left( \frac{-1-\sqrt{3}}{2} \right)=-1+i\sqrt{3}-1-i\sqrt{3}=-2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{t_{1}}=2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{t_{2}}= i\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{t_{3}}= -i\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{2+i \sqrt{2}- i\sqrt{2}}{2}=1}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{2-i \sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2}=1}\)
\(\displaystyle{ x_{3}= \frac{-2+i \sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2}=-1+ i\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{4}= \frac{-2-i \sqrt{2}-i\sqrt{2}}{2}=-1- i\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \left( t-1\right)^{2} \left(x+1- i\sqrt{2} \right) \left(x+1+i\sqrt{2} \right)}\)
Teraz tylko zostaje ulozyc uklad rownan tak jak to sie robilo calkujac przez
rozklad na ulamki proste
W pierwszym przykladzie skorzystamy z metody Ferrariego rozwiazywania rownan czwartego stopnia
a w drugim przykladzie skorzystamy z metody Descartesa Eulera
\(\displaystyle{ x^{4}+2x^{3}+4x^{2}-2x-5=0}\)
\(\displaystyle{ x^{4}+2x^{3}=-4x^{2}+2x+5=0}\)
\(\displaystyle{ x^{4}+2x^{3}+x^{2}=-3x^{2}+2x+5=0}\)
\(\displaystyle{ \left(x^{2}+x\right)^{2}=-3x^{2}+2x+5=0}\)
\(\displaystyle{ \left(x^{2}+x+ \frac{y}{2} \right)^{2}=\left(y-3\right)x^{2}+\left(y+2\right)x+ \frac{y^{2}}{4} +5=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ \left(y+2 \right)^{2}= \left( y^{2}-20\right) \left( y-3\right)}\)
\(\displaystyle{ y^{2}+4x+4 = y^{3}-3y^{2}+20x-60}\)
\(\displaystyle{ y^{3}-4y^{2}+16x-64=0}\)
\(\displaystyle{ y^{2} \left( y-4\right) +16 \left( y-4\right) =0}\)
\(\displaystyle{ \left( y-4\right) \left(y^{2}+16 \right)=0}\)
\(\displaystyle{ y_{1}=4}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+x+2\right) ^2=x^{2}+6x+9}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+x+2\right) ^2= \left( x+3\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+x+2+x+3\right) \left( x^{2}+x+2-x-3\right) =0}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+2x+5\right) \left( x^{2}-1\right) =0}\)
\(\displaystyle{ \left( x^2+2x+5\right) \left( x-1\right) \left(x+1 \right) =0}\)
\(\displaystyle{ \left(x+1+2i) \left( x+1-2i\right) \left(x+1 \right) =0}\)
\(\displaystyle{ x^4-4x+3=0}\)
\(\displaystyle{ t^3-12t-16=0}\)
\(\displaystyle{ u^{2}-16u+64=0}\)
\(\displaystyle{ \left( u-8\right)^2=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{1}=2 \\ u_{2}=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=2+2=4}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=2 \left( \frac{-1-\sqrt{3}}{2} \right)+2 \left( \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \right)=-1-i\sqrt{3}-1+i\sqrt{3}=-2}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=2 \left( \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \right)+2 \left( \frac{-1-\sqrt{3}}{2} \right)=-1+i\sqrt{3}-1-i\sqrt{3}=-2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{t_{1}}=2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{t_{2}}= i\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{t_{3}}= -i\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{2+i \sqrt{2}- i\sqrt{2}}{2}=1}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{2-i \sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2}=1}\)
\(\displaystyle{ x_{3}= \frac{-2+i \sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2}=-1+ i\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{4}= \frac{-2-i \sqrt{2}-i\sqrt{2}}{2}=-1- i\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \left( t-1\right)^{2} \left(x+1- i\sqrt{2} \right) \left(x+1+i\sqrt{2} \right)}\)
Teraz tylko zostaje ulozyc uklad rownan tak jak to sie robilo calkujac przez
rozklad na ulamki proste