znajdz pierwiastki wielomianu

bembenek88a · Post autor: **bembenek88a** » 3 mar 2009, o 00:25

znajac jeden pierwiastek wielomianu znajdz pozostale
\(\displaystyle{ w(x) = x^{5} - x^{4} + 4x^{3} + 4x^{2} + 3x +5}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = 1+2i}\)

Prosze o rozwiazanie tego zadania gdyż zbliża mi sie egzamin poprawkowy z matematyki i spodziewam sie czegos podobnego.
pozdrawiam

Frey · Post autor: **Frey** » 3 mar 2009, o 12:23

O ile pamiętam, to mając pierwszy pierwiastek można nim wygenerować pozostałe. Wystarczy zamienić go na postać trygonometryczną i następnie podnosić do potęgi tutaj do potęgi (2, 3, 4 ,5 i 0 chyba)

Tak mi się wydaje.

Maciej87 · Post autor: **Maciej87** » 3 mar 2009, o 22:34

Nie nie
1. Tak działają zespolone pierwiastki z jedynki \(\displaystyle{ z^{n}=1}\)
2. Nie każdy pierwiastek stopnia \(\displaystyle{ n}\) z \(\displaystyle{ 1}\) generuje potęgami wszystkie inne.

Zrób tak: jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem, to sprzężony \(\displaystyle{ \overline{a}}\) również.
Zatem masz w zadaniu podane nie jeden, a dwa pierwiastki i wielomian dzieli się przez
\(\displaystyle{ \left(z-a\right)\left(z-\overline{a}\right)=z^2-2z+5}\).
Podziel wielomiany i zobacz co wyjdzie. Dalszych pierwiastków szukamy w drugim czynniku (czyli wyniku podzielenia)

Frey · Post autor: **Frey** » 3 mar 2009, o 23:05

Maciej faktycznie dzięki, widziałem że coś nie tak jest z moim rozumowaniem tylko... skleroza i nie widziałem co:P

EmiliaGrodki · Post autor: **EmiliaGrodki** » 5 mar 2009, o 17:48

\(\displaystyle{ x^{4} - 2x^{3} - 7x^{2} + 8x + 12 > 0}\)
proszę pomóżcie mi to zacząć

Frey · Post autor: **Frey** » 5 mar 2009, o 20:22

może znaleźć pierwiastki, wydaje się, że 2 jest pierwiastkiem, no to podziel wielomian przez jednomian x-2 i patrz dalej