postac trygonometryczna liczb

[Pumba]

Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby:
1.\(\displaystyle{ 1 + i tg\alpha}\)
2.\(\displaystyle{ 1-tg^{2}\alpha+2i tg\alpha}\)
3. \(\displaystyle{ 1+cos\alpha +isin\alpha}\)

[mmoonniiaa]

1.
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{1^2+tg^2\alpha}= \sqrt{ \frac{cos^2\alpha}{cos^2\alpha}+ \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} } = \sqrt{ \frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{cos^2\alpha} } = \sqrt{ \frac{1}{cos^2\alpha} } = \frac{1}{cos\alpha}\\
cos\varphi= \frac{a}{|z|} = \frac{1}{ \frac{1}{cos\alpha} } =cos\alpha\\
sin\varphi= \frac{b}{|z|} = \frac{tg\alpha}{ \frac{1}{cos\alpha} } =sin\alpha\\
z=|z|(cos\varphi+i sin\varphi)=\frac{1}{cos\alpha}(cos\alpha + i sin\alpha)}\)

[Pumba]

dzieki, ale chyba \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{cos^{2}\alpha}} = \frac{1}{|cos\alpha|}}\) a to chyba ma jakies znaczenie?
A przy 2 i 3 moglby ktos pomoc? z gory dziekuje!

[Mariusz M]

dzieki, ale chyba \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{cos^{2}\alpha}} = \frac{1}{|cos\alpha|}}\) a to chyba ma jakies znaczenie?
A przy 2 i 3 moglby ktos pomoc? z gory dziekuje!

2.
\(\displaystyle{ \left(1+i\tan{\alpha} \right)^2}\)

\(\displaystyle{ \left(1+i\tan{\alpha} \right)^2 = \frac{1}{cos^{2}{\alpha}} \left( \cos{2\alpha}+isin2\alpha\right)}\)

3.
\(\displaystyle{ \left|1+\cos{\alpha}+i\sin{\alpha} \right|=2cos{ \frac{\alpha}{2} }}\)

\(\displaystyle{ arg(1+\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})= \frac{\alpha}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2\cos{ \frac{\alpha}{2} } \left( cos{ \frac{\alpha}{2} }+i\sin{ \frac{\alpha}{2}}\right)}\)