Zadania na interpretację graficzną, moduł i Rez

[Trotwood]

Znam tok rozumowania. Prosiłbym raczej o wyniki, bo moja ocena z egzaminu pokazuje, że gdzieś się machnąłem.

1. Oblicz (przedstaw w postaci kanonicznej) \(\displaystyle{ w = (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}})^2008}\). Podaj interpretację graficzną zbioru

\(\displaystyle{ A = {z \in Z: |z^2 - i| \leq |z^2 - w|}}\)

2. Wyznacz moduły i części rzeczywiste rozwiązań równania
\(\displaystyle{ (1+i)z^2 + z + 2i = -1}\)

[soku11]

1.

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i=
\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4}\\
(\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4})^{2008}=
\cos 3514\pi+i\sin 3514\pi=
1+i\cdot 0=-1\\
w=1\\}\)


Dalej juz powinienes sobie poradzic.

2. Zwykle rownanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ (1+i)z^2 + z + 2i+1 = 0\\
\Delta=1-4(2i+1)(1+i)=
1-4(2i-2+1+i)=
1-4(3i-1)=
1-12i+4=5-12i\\
5-12i=(a+bi)^2\\
a^2-b^2+2abi=5-12i\\
\begin{cases}
a^2-b^2=5\\
2ab=12\end{cases}\\
ab=6\\
b=\frac{6}{a}\\
a^2-\frac{36}{a^2}=5\\
a^4-5a^2-36=0\\
a^2=t\\
t^2-5t-36=0\\
(t+4)(t-9)=0\\
t=9\\
a^2=9\\
|a|=3\\
\begin{cases}
a=\pm 3\\
b=\pm 2\end{cases}\\
\Delta=(3+2i)^2\\
z=\frac{-1\pm(3+2i)}{2(1+i)}=\ldots}\)

I dalej tylko przedstawic w postaci dwoch liczb. Pozdrawiam.

[Trotwood]

1. No właśnie chyba nie, bo pewnie powinno być 3514, a nie 3541. I wtedy wychodzi w = 1. Mam rację? Jeśli tak, to dziwne, bo tak właśnie zrobiłem na egzaminie.

2. Dzięki. Tak, dla pewności: części rzeczywiste wychodzą -3/2 i 1?

[soku11]

2. Mi tak na szybko wyszlo:
\(\displaystyle{ z_1=1\\
z_2=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i}\)

1. Rzeczywiscie. w=1. Nie wiem co napisales na egzaminie i czego wymagal wykladowca, wiec nie moge sie ustosunkowac

Pozdrawiam.

[Trotwood]

Luz. Jeszcze ostatnia rzecz:
ile to jest np.

\(\displaystyle{ |z^{2}-i|}\)?
Czy to jest \(\displaystyle{ x^{2}+(y-1)^{2}}\)?

Bo może tutaj coś pochrzaniłem.

[Trotwood]

Luz. Jeszcze ostatnia rzecz:
ile to jest np.

\(\displaystyle{ |z^{2}-i|}\)?
Czy to jest \(\displaystyle{ x^{2}+(y-1)^{2}}\)?

Bo może tutaj coś pochrzaniłem.

[soku11]

\(\displaystyle{ |z^2-i|=
|(x+iy)^2-i|=
|x^2+2xyi-y^2-i|=
|x^2-y^2+i(2xy-1)|=
\sqrt{(x^2-y^2)^2+(2xy-1)^2}}\)

Pozdrawiam.