Oblicz pole trójkąta

anzej · Post autor: **anzej** » 28 lut 2009, o 12:38

Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołki odpowiadają liczbie 5+12i oraz jej pierwiastkom 2go stopnia.
Jak rozwiązać te zadanko?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 28 lut 2009, o 13:48

Wystarczy wyznaczyć te pierwiastki drugiego stopnia z danej liczby (są to takie liczby \(\displaystyle{ z\in\mathbb{C}}\), dla których \(\displaystyle{ z^2=5+12i}\)), następnie traktując liczbę zespoloną \(\displaystyle{ x+iy}\) jako parę liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (x,y)}\) (przez naturalny izomorfizm \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)) można zapisać współrzędne w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) wszystkich wierzchołków trójkąta i zastosować wzór na pole trójkąta.

anzej · Post autor: **anzej** » 28 lut 2009, o 18:35

\(\displaystyle{ z^{2} = 5 + 12i}\)
\(\displaystyle{ (x + iy)^{2}= 5+12i}\)
obliczam. dochodze do wyrazenia: \(\displaystyle{ y^{4} + 5y^{2} - 36 = 0}\)
\(\displaystyle{ t = y^{2}}\)
Z równania kwadratowego pierwiastek z delty równy 13 więc:
t1= -9 -> sprzeczne , t2= 4
Powracam do podstawienia wtedy x=3 , y=2

O to chodziło tak? Później co mam zrobić bo nie zrozumiałem dalszej części Twojej podpowiedzi.

frej · Post autor: **frej** » 28 lut 2009, o 19:20

Tak. Chodzi o to, że możesz sobie tę płaszczyznę zespoloną potraktować jakbyś to wszystko robił w układzie współrzędnych, tzn. wszystkie wzory np. z geometrii analitycznej są normalne. Liczbę zespoloną utożsamiasz z parą punktów\(\displaystyle{ z=x+iy=(x,y)}\) ( Tak jak to jest, gdy definiujesz liczby zespolone )