przedstaw na plaszczyźnie zespolonej

[karola1989]

Mam takie zadania
zad 1
podaj \(\displaystyle{ z= \sqrt[8]{1}}\) i przedstawić na płaszczyźnie zespolonej

zad 2
korzystając z postaci
\(\displaystyle{ z=3(2e ^{i \frac{\pi}{7} } + e ^{ i\frac{\pi}{13} }+ \frac{1}{2}e ^{ i\frac{16\pi}{5} } )}\) przedstaw liczbę na płaszczyźnie zespolonej.

zad 3
przedstaw na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} |z|=e ^{ \frac{\pi}{3} } \\ \frac{Re z}{Im z} \leqslant 0\end{cases}}\)

Bardzo proszę o pomoc....

[soku11]

1. Wzor deMoivre'a sie klania i tyle
\(\displaystyle{ z=\sqrt[8]{w}\\
w=1=\cos 0+i\sin 0\\
z_k=\cos \frac{0+2k\pi}{8}+i\sin\frac{0+2k\pi}{8}=
\cos \frac{k\pi}{4}+i\sin\frac{k\pi}{4},\;\;k\in\{0,1,2,\ldots,7\}}\)

Podstawiasz kolejne wartosci k by wyznaczyc 8 pierwiastkow liczby 1.

3. Pierwsze rownanie:
\(\displaystyle{ |z|=e^{\frac{\pi}{3}}}\)

Oznacza, ze odleglosc punktu z od poczatku ukladu wspolrzednych wynosi \(\displaystyle{ e^{\frac{\pi}{3}}}\). Takze jest to okrag o srodku w (0,0) i danym promieniu.

Drugie rownanie:
\(\displaystyle{ \frac{\Re z}{\Im z}\le 0}\)

Po pierwsze wypada punkt (0,0). Teraz warto sie zastanowic kiedy iloraz dwoch liczb bedzie mniejszy od zera. Oczywiscie, gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\Re z\ge 0\\
\Im z\le 0
\end{cases}\;\;\;\vee\;\;\;\begin{cases}\Re z\le 0\\ \Im z\ge 0\end{cases}\\}\)

Takze ilustruje to odpowiednio IV i II cwiartke ukladu wspolrzednych.

Rozwiazaniem tego ukladu beda wiec dwa luki kola o danym promieniu lezace w danych cwiartkach.

2. Tutaj trzeba chyba poprostu operowac na wskazach. Tzn. Najpierw rysujesz liczbe zespolona:
\(\displaystyle{ z_1=2e^{i\frac{\pi}{7}}}\)

Pozniej dodajesz do niej kolejna itd. Na koncu dlugosc powiekszasz 3-krotnie.

Pozdrawiam.

[karola1989]

ae odnosnie 3 to ile wynosi ten promień ??? jak to liczyc ??

[soku11]

No promien wynosi \(\displaystyle{ e^{\frac{\pi}{3}}}\) Jest to jakas tam liczba (wyliczona przez kalkulator to okolo 2,84965391), ktorej tak naprawde wartosc cie nie interesuje. Gdyby trzeba bylo ja z czyms porownac, to rozumiem, ale w tym przypadku nic takiego nie jest potrzebne.

Pozdrawiam.