rozwiazac z^2=i

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
azedor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 19 mar 2007, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 11 razy

rozwiazac z^2=i

Post autor: azedor »

Rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ z^2=i}\).

Poniżej moje rozwiązanie ale nie jestem pewien czy to wszystko.

Przyjmując \(\displaystyle{ z=a+bi}\), dostaniemy \(\displaystyle{ a^2-b^2+2abi=i}\).
Czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} a^2=b^2\\2ab=1\end{cases}}\)

Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ a,b}\) muszą być dodatnie więc ostatecznie \(\displaystyle{ a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}}\).
Brzytwa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 879
Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 221 razy

rozwiazac z^2=i

Post autor: Brzytwa »

Mogą być również oba ujemne.
Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

rozwiazac z^2=i

Post autor: Dedemonn »

azedor pisze:Czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} a^2=b^2\\2ab=1\end{cases}}\)

Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ a,b}\) muszą być dodatnie
Ale co to za sposób rozwiązania. W drugim równaniu wyznacz np. b i wstaw do pierwszego. Wtedy otrzymasz wszystkie rozwiązania.


Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

rozwiazac z^2=i

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ z^{2}-i=0}\)
\(\displaystyle{ \left( z- \sqrt{i} \right) \left( z+ \sqrt{i} \right)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{i}= \sqrt{ \frac{1}{2} }+i \sqrt{ \frac{1}{2} }}\)

Skąd się to wzięło ?
Ze wzoru de Moivre'a
\(\displaystyle{ z^{n}=\left|z\right|^{n} \left( \cos(narg(z))+i\sin(narg(z)))\right)}\)

oraz

\(\displaystyle{ \cos{ \frac{x}{2} }= \sqrt{ \frac{1+\cos{x}}{2} }}\)
\(\displaystyle{ \sin{ \frac{x}{2} }= \sqrt{ \frac{1-\cos{x}}{2} }}\)
ODPOWIEDZ