Rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ z^2=i}\).
Poniżej moje rozwiązanie ale nie jestem pewien czy to wszystko.
Przyjmując \(\displaystyle{ z=a+bi}\), dostaniemy \(\displaystyle{ a^2-b^2+2abi=i}\).
Czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} a^2=b^2\\2ab=1\end{cases}}\)
Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ a,b}\) muszą być dodatnie więc ostatecznie \(\displaystyle{ a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}}\).
rozwiazac z^2=i
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
rozwiazac z^2=i
Ale co to za sposób rozwiązania. W drugim równaniu wyznacz np. b i wstaw do pierwszego. Wtedy otrzymasz wszystkie rozwiązania.azedor pisze:Czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} a^2=b^2\\2ab=1\end{cases}}\)
Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ a,b}\) muszą być dodatnie
Pozdrawiam.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
rozwiazac z^2=i
\(\displaystyle{ z^{2}-i=0}\)
\(\displaystyle{ \left( z- \sqrt{i} \right) \left( z+ \sqrt{i} \right)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{i}= \sqrt{ \frac{1}{2} }+i \sqrt{ \frac{1}{2} }}\)
Skąd się to wzięło ?
Ze wzoru de Moivre'a
\(\displaystyle{ z^{n}=\left|z\right|^{n} \left( \cos(narg(z))+i\sin(narg(z)))\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \cos{ \frac{x}{2} }= \sqrt{ \frac{1+\cos{x}}{2} }}\)
\(\displaystyle{ \sin{ \frac{x}{2} }= \sqrt{ \frac{1-\cos{x}}{2} }}\)
\(\displaystyle{ \left( z- \sqrt{i} \right) \left( z+ \sqrt{i} \right)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{i}= \sqrt{ \frac{1}{2} }+i \sqrt{ \frac{1}{2} }}\)
Skąd się to wzięło ?
Ze wzoru de Moivre'a
\(\displaystyle{ z^{n}=\left|z\right|^{n} \left( \cos(narg(z))+i\sin(narg(z)))\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \cos{ \frac{x}{2} }= \sqrt{ \frac{1+\cos{x}}{2} }}\)
\(\displaystyle{ \sin{ \frac{x}{2} }= \sqrt{ \frac{1-\cos{x}}{2} }}\)