Witam, jestem tutaj nowy więc jeśli popełniłem jakiś błąd merytoryczny to z góry sorki
Więc tak, mam zadanko o takiej treści :
Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór liczb zEC spełniających nierówność :
Im( \(\displaystyle{ \frac{z}{iz+2}}\))<0
Jak w ogule mam się za to zabrać ? tzn niewiem od czego zacząć ;?
Płaszczyzna zespolona.
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Płaszczyzna zespolona.
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ Im \left(\frac{x+iy}{ix-y+2} \right) = Im \left( \frac{x+iy}{2-y+ix} \cdot \frac{2-y-ix}{2-y-ix}\right) = Im \left( \frac{2x+i \left(2y-x^2-y^2 \right) }{(2-y)^2+x^2} \right)= Im \left(\frac{2x}{(2-y)^2+x^2}+i\frac{2y-x^2-y^2}{(2-y)^2+x^2} \right)=\frac{2y-x^2-y^2}{(2-y)^2+x^2}}\)
Przechodzimy do nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{2y-x^2-y^2}{(2-y)^2+x^2} < 0 \\ \\}\) Dziedzina: \(\displaystyle{ D=R^2 \backslash \lbrace (0,2)\rbrace}\)
\(\displaystyle{ 2y-x^2-y^2<0 \\ \\ x^2+y^2-2y>0 \\ \\ x^2+(y-1)^2>1}\)
Rozwiązanie tej nierówności jest więc cała płaszczyzna zespolona bez koła o środku w punkcie (0,1) i promieniu 1.
\(\displaystyle{ Im \left(\frac{x+iy}{ix-y+2} \right) = Im \left( \frac{x+iy}{2-y+ix} \cdot \frac{2-y-ix}{2-y-ix}\right) = Im \left( \frac{2x+i \left(2y-x^2-y^2 \right) }{(2-y)^2+x^2} \right)= Im \left(\frac{2x}{(2-y)^2+x^2}+i\frac{2y-x^2-y^2}{(2-y)^2+x^2} \right)=\frac{2y-x^2-y^2}{(2-y)^2+x^2}}\)
Przechodzimy do nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{2y-x^2-y^2}{(2-y)^2+x^2} < 0 \\ \\}\) Dziedzina: \(\displaystyle{ D=R^2 \backslash \lbrace (0,2)\rbrace}\)
\(\displaystyle{ 2y-x^2-y^2<0 \\ \\ x^2+y^2-2y>0 \\ \\ x^2+(y-1)^2>1}\)
Rozwiązanie tej nierówności jest więc cała płaszczyzna zespolona bez koła o środku w punkcie (0,1) i promieniu 1.
Płaszczyzna zespolona.
Hej słuchaj wielkie dzięki za to rozwiązanie z tym że mam jeszcze drobne pytanko czemu iz zamieniłeś na ix-y ?? W jaki sposób