Liczby zespolone

[Trucha]

Mam pewien problem z 2 rzeczami:

1.
Dana jest liczba zespolona \(\displaystyle{ z = \frac{(4-i)*i^{127}}{(3-i)^2}}\)

Trzeba tutaj wyznaczyć Re(z), Im(z) i \(\displaystyle{ \overline {z}}\)

2.
Jest liczna zespolona: \(\displaystyle{ z_{1}= -2-2i\sqrt{3}}\)

A)Trzeba tutaj wyznaczyć postać trygonometryczną. B)Następnie korzystając z postaci trygonometrycznych obliczyć \(\displaystyle{ z_{1}^{60}}\). C) Wynik z punktu B sprowadzić do postaci algebraicznej.

O ile z 1. coś wiem, tak z 2. nie mam pojęcia.-- 22 lut 2009, o 21:26 --Pytanie może trochę banalne: Ile wynosi \(\displaystyle{ i^{127}}\) i jak rozpisać w tym przykładzie \(\displaystyle{ (3-i)^{2}}\)

\(\displaystyle{ i^{127} = -1}\) ?

Proszę o pomoc.

[sir_matin]

Banalne, a Ty powinieneś przeglądnąć podręczniki

A teraz zajmijmy się zadaniami:

\(\displaystyle{ i^{127}=(i^{2})^{63}i=(-1)^{63}i=-i}\)

\(\displaystyle{ 1.\\
z= \frac{(4-i)*i^{127}}{(3-i)^{2}}= \frac{(4-i)(-i)(3+i)^{2}}{(3-i)^{2}(3+i)^{2}}= \frac{16-48i}{4^{2}}=1-3i\\
\\
\Re (z)=1\\
\\
\Im (z)=-3\\
\\
\overline{z}=1+3i}\)


\(\displaystyle{ 2.\\
z=a+bi= \left|z \right| \frac{a}{\left| z\right|}+ \left|z \right| \frac{b}{\left|z \right|}i =z \right| (\cos\varphi+i\sin \varphi) \\

z_{1}=4(\cos \frac{7}{6}\pi+i\sin \frac{7}{6}\pi)\\
z_{1}^{60}=4^{60}(\cos 60\frac{7}{6}\pi+i\sin60 \frac{7}{6}\pi)=4^{60}(\cos0+i\sin0)=4^{60}\\}\)

...wybacz za mały żarcik na początku

[Trucha]

Hmm a skąd się wzięło \(\displaystyle{ \frac{7}{6}\pi}\)

Mi wyszlo \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)

I czy mógłbyś jeszcze sprowadzić do postaci algebraicznej?

[sir_matin]

hmmmmmmmmmmmmmmmmm... faktycznie drobny błąd, ale w sumie nie wpływa on na wynik potęgowania:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos\varphi= \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \\ \sin\varphi= \frac{-2\sqrt{3}}{4} =-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}\Rightarrow \varphi= \frac{4}{3}\pi}\)

Co do postaci algebraicznej to nie wiem jak prościej... \(\displaystyle{ 4^{60}=2^{120}=1024^{12} \approx 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000}\) , ale to pewnie nie o to chodzi.