narysować na płaczyźnie zespolonej

[mat1989]

\(\displaystyle{ |\frac{z-2i}{z+1}|=1\\
|\frac{z+i}{z^2+1}| \ge 1}\)
może ktoś pokazać jak się za to zabrać?

[sushi]

z= x+iy

\(\displaystyle{ |Z|= \sqrt{x^2+y^2}}\) czyli zbiorem bedzie okrąg o odpowiednie przesuniecie

[mat1989]

no ale najpierw to trzeba wydzielić tak?

[sushi]

np |z-2i|= |x+iy-2i|= |x+ (y-2)i|
\(\displaystyle{ |z-2i|= \sqrt{x^2+ (y-2)^2}}\)

[mat1989]

trochę nie rozumiem, w liczniku i mianowniku podstawiam z= x+iy i co dalej?

[Maciej87]

Formalnie: homografie przeprowadzają okręgi uogólnione (okręgi+proste) na okręgi uogólnione.
\(\displaystyle{ w(z)=\frac{z-2i}{z+1}}\) to homografia.
Przeciwobraz okręgu \(\displaystyle{ |w|=1}\) to obraz przy \(\displaystyle{ w^{-1}}\) (homografie są odwracalne) a więc okrąg lub prosta.
Można rozwiązać to tak:
Znajdźmy obrazy trzech punktów przy \(\displaystyle{ w^{-1}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ w=1}\) to \(\displaystyle{ z=\infty}\).
Jeśli \(\displaystyle{ w=-1}\) to \(\displaystyle{ z=\frac{-1}{2}+i}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ w=i}\) to \(\displaystyle{ z=-\frac{3}{2}+i\frac{3}{2}}\)

Rozwiązaniem jest prosta, przechodząca przez te 3 punkty.

Co do drugiego:
\(\displaystyle{ w(z)=\frac{z+i}{z^2+1}=\frac{1}{z-i}}\)
To też homografia. Wyznaczysz podobnie przeciwobraz \(\displaystyle{ |w|\geq 1}\),
sprawdzając na co przechodzi brzeg \(\displaystyle{ |z|=1}\) przy \(\displaystyle{ w^{-1}}\). (znowu 3 punkty)
Obrazem będzie prosta lub okrąg. Obrazem zewnętrza okręgu wnętrze lub zewnętrze obrazu okręgu,
lub też ewentualnie jedna strona prostej.

Powiem z własnego doświadczenia, podszkol się z takich geometrycznych własności przekształceń, to będziesz rozwiązywał sprawniej niż przez jakieś głupie równania. Oczywiście nie wszystkie przypadki dają się tak ładnie załatwić, ale warto.

[mat1989]

no ale niestety nie wiem za bardzo jak to rozwiązać za pomocą tych przeciwobrazów. może ktoś to pokazać jak analitycznie doprowadzić do postaci tych okręgów? bo nie zrozumiałem tych postów wyżej :/