równania zespolone

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 21 lut 2009, o 19:16

no do końca nie wiem jak się wyprowadza, gdzie to można znaleźć? i za pomocą czego się wyprowadza?

abc666 · Post autor: **abc666** » 21 lut 2009, o 19:27

na wikipedii

Rogal · Post autor: **Rogal** » 21 lut 2009, o 19:28

Będę nieskromny i się polecę, by oszczędzić pisania tego tutaj, ale wiesz no, wyprowadzenie wzorów na równanie kwadratowe to w liceum jest ;p
Patrz tutaj 3841.htm

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 22 lut 2009, o 11:21

ok, a w takim razie jak rozwiązać to drugie równanie?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 22 lut 2009, o 11:42

Równania zespolone, w których pojawia się sprzężenie najczęściej jest dobrze rozwiązywać pisząc z = x+yi, gdzie x i y są rzeczywiste. W Twoim przypadku to się jak najbardziej opłaci, bo masz takie symetryczne wyrażenia, to coś tam się poskraca.

Frey · Post autor: **Frey** » 22 lut 2009, o 12:16

Mat nie przejmuj się. Ja zespolonych nienawidzę Niby mają zastosowanie, są przydatne itp ble ble. Nie lubię.

W ogólności \(\displaystyle{ z^n=\overline{z}}\) Dla z=0 oczywiście jest spełnione.
\(\displaystyle{ |z|^n(cos(n\alpha)+isin(n \alpha ))=|z|(cos( \alpha )-isin( \alpha ))\\ |z|=1}\)

\(\displaystyle{ cos(n\alpha)+isin(n \alpha) =cos(- \alpha )+isin(- \alpha )}\)
\(\displaystyle{ n \alpha =- \alpha +2k\pi}\)
\(\displaystyle{ (n+1) \alpha =2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{2k\pi}{n+1}}\) \(\displaystyle{ k \in {1,2,...,n-1}}\)

jakoś takoś ale jak już mówiłem zespolonych to ja nie lubię ;/

Rogal · Post autor: **Rogal** » 22 lut 2009, o 12:39

Smęcisz - liczby zespolone to jedno z najlepszych odkryć w nowożytnej matematyce ;p
A propos - co Ty tutaj teraz policzyłeś? : )

Frey · Post autor: **Frey** » 22 lut 2009, o 12:49

To nie znaczy, że trzeba je lubić.

No to pokazuje, że równania postaci liczba zespolona do potęgi, równa się jej sprzężenie mają jednak rozwiązania. Do tego rozwiązanie zależne jest od n

Rogal · Post autor: **Rogal** » 22 lut 2009, o 13:00

Aha, rozumiem, tak.

Frey · Post autor: **Frey** » 22 lut 2009, o 13:03

Rogal pisze:Aha, rozumiem, tak.

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 22 lut 2009, o 14:54

Frey no mi też narazie nie leżą, bo akurat teraz dopiero zacząłem się nimi zajmować.
\(\displaystyle{ (z+2)^2=(\overline{z}+2)^2 \\ z^2+2z=\overline{z}^2+2\overline{z}}\)
i teraz podstawić z=x+ui?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 22 lut 2009, o 15:54

Albo od razu.
\(\displaystyle{ (x+2 + yi)^{2} = (x+2 -yi)^{2} \\ (x+2)^{2} + 2(x+2)yi - y^{2} = (x+2)^{2} -2(x+2)yi - y^{2}}\)
I już wszystko widać.

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 25 lut 2009, o 19:28

\(\displaystyle{ \overline{z+i}-z+i=0 \\ z^4(=1-i)^4 \\ z^3=(iz+1)^3}\)
może ktoś pomóc i powiedzieć jak to w miarę prosto rozwiązać?

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 25 lut 2009, o 19:35

\(\displaystyle{ \overline{z+i}-z+i=0 \\
\overline{a+(b+1)i}-a-bi+i = 0 \\
a-(b+1)i-a+(-b+1)i = 0 \\
-2bi = 0 \quad \iff \quad -2b = 0 \quad \iff \quad b = 0}\)-- 25 lutego 2009, 19:41 --Co do

\(\displaystyle{ z^4=(1-i)^4}\)

to można na 2 sposoby:

I.

\(\displaystyle{ z^4-(1-i)^4 = 0 \\
(z^2+(1-i)^2)(z^2-(1-i)^2) = 0 \\
(z^2-2i)(z+1-i)(z-1+i) = 0}\)

2 pierwiastki już widać, a 2 pozostałe liczysz deltą i te sprawy.

II.

Jest takie twierdzenie, że jeśli \(\displaystyle{ w_0}\) jest pierwiastkiem równania o stopniu n, to można otrzymać wszystkie pierwiastki tego równania mnożąc ten pierwiastek przez pierwiastki stopnia n z jedności.

I tak odgadujesz jeden z pierwiastków, który widać na oko:

\(\displaystyle{ z_0 = 1-i}\)

i se go mnożysz.

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 25 lut 2009, o 20:06

ok nie słyszałem o tym twierdzeniu
a ostatni przykład?