równania zespolone

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 20 lut 2009, o 18:48

1. \(\displaystyle{ z^2-4z+13=0}\)
2. \(\displaystyle{ (z+2)^2=(\overline{z}+2)^2}\)

na początek, jak mamy równanie zespolone stopnia n, to ile może mieć ono pierwiastków?

golabek_88 · Post autor: **golabek_88** » 20 lut 2009, o 20:46

równanie zawsze ma tyle miejs zerowych co stopień pierwiastka.-- 20 lut 2009, o 21:10 --a) Δ=-36, √(Δ)= 6i, z_1=2-3i, z_2=2+3i

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 20 lut 2009, o 21:54

no to nie wiem, na cwiczeniach było równanie \(\displaystyle{ z^2=4\overline {z}}\) i wyszły 4 rozwiązania...

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 20 lut 2009, o 22:59

Bo to nie jest wielomian stopnia n. To jest... jakieś równanie.

Wielomian stopnia n o zmiennej zespolonej ma dokładnie n pierwiastków. (być może powtarzających się)

Pzdr.

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 21 lut 2009, o 08:20

no ale jak mamy normalnie równanie stopnia 2 to mamy 2 rozwiązania, a tutaj mamy 4?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 21 lut 2009, o 09:49

No bo jak wyżej kolega pisał - to nie jest równanie wielomianowe.
Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że wielomian stopnia n o współczynnikach z C ma w C n pierwiastków, licząc z krotnościami i koniec pieśni.

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 21 lut 2009, o 11:55

no dobra, ale jak to nie jest wielomian to to co napisał golabek_88 jest dobrze?

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 21 lut 2009, o 11:58

To ja może napiszę co to jest wielomian stopnia n, bo tu chyba leży niezrozumenie.

Otóż wielomian zespolony stopnia n zmiennej z to funkcja postaci :

\(\displaystyle{ a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_1z + a_0}\)

Pzdr/-- 21 lutego 2009, 12:04 --

mat1989 pisze:no dobra, ale jak to nie jest wielomian to to co napisał golabek_88 jest dobrze?

Podpkt. a) jest wielomianem (bo co do tego napisał golabek_88). A żeby sprawdzić czy dobrze, to wystarczy wstawić rozwiązania do równania i sprawdzić czy działa.

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 21 lut 2009, o 12:29

no tyle, ze z jest liczbą zespoloną...

Rogal · Post autor: **Rogal** » 21 lut 2009, o 12:49

Mat, jesteś człek inteligentny - sformułuj swoje pytanie tutaj jasno i precyzyjnie, to wtedy bez problemu Ci odpowiemy, ok?

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 21 lut 2009, o 13:14

mamy takie równanie \(\displaystyle{ z^2=4\overline {z}}\) - ma 4 rozwiązania
a \(\displaystyle{ x^2=4x}\) ma 2.

więc w tym pierwszym, przykładzie wyszły 2, a nie powinny wyjść 4 też?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 21 lut 2009, o 17:00

Dlaczego "powinno" coś? Nie spotkałem się osobiście z jakąś analizą równań, gdzie obok z występuje też jego sprzężenie i przypuszczam, że chyba nikt się tym nie zajmował, bo to dość dużo różnych możliwości jest.
Jednak, jeśli ten temat nie daje Ci żyć, to polecam gorąco się nim zająć - ile pierwiastków zespolonych ma równanie \(\displaystyle{ az^{2} + b \overline{z}^{2} + cz + d \overline{z} + e = 0}\) na początek na przykład : )
Jak osiągniesz wynik, to pochwal się nim ; )

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 21 lut 2009, o 18:27

no to może zbyt ambitny plan jak na początek
tylko, że mi chodzi o to:
\(\displaystyle{ z^2-4z+13=0}\)
jak napisał kolega wyżej liczy delte itd, czyli moim zdaniem postępuje tak jakby to było równanie z liczbami rzeczywistymi. Nie trzeba tutaj czasem podstawić postaci liczby trygonometrycznej?

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 21 lut 2009, o 19:02

Pierwiastki z takiego równania liczymy tak samo jak z równania o zmiennej rzeczywistej, z tym wyjątkiem, że tutaj \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) jest zbiorem 2-elementowym.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 21 lut 2009, o 19:07

Mat, wiesz jak się wyprowadza wzory na pierwiastki równania kwadratowego?
Jeśli nie wiesz, to spróbuj to zrobić i zauważysz, że przypadek rzeczywisty od zespolonego różni się tym, że z rzeczywistym jest więcej cyrtolenia się na przypadki, a zespolony idzie gładziutko.