... jeśli dana jest jej część urojona (nalezy wyznaczyc częsc rzeczywista, czyli fcja u(x,y) :
\(\displaystyle{ v(x,y) = y + e^{x}siny}\)
bardzo bym prosił o rozwiązanie, jak najbardziej szczegółowe jeśli się da ;] (krok po kroku)
Znalezc fcje holomorf. f(z), jesli dana jest jej cz. urojona
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Znalezc fcje holomorf. f(z), jesli dana jest jej cz. urojona
Wykorzystajmy równania Cauchyego-Riemana
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx}=\frac{dv}{dy}=1+e^{x}\cos{y}}\).
Po odcałkowaniu mamy
\(\displaystyle{ u(x,y)=x+{{\rm e}^{x}}\cos \left( y \right)}\)
Podstawmy teraz \(\displaystyle{ y=0}\).
Mamy wtedy \(\displaystyle{ f(x+i\cdot y) = u(x,y)+iv(x,y)=x+e^{x}+i\cdot 0}\).
Zauważmy zatem że dla liczb zespolonych z prostej rzeczywistej \(\displaystyle{ z=x\in \mathbb{R}}\) funkcja pokrywa się z
\(\displaystyle{ f(z)=z+e^{z}}\).
Z zasady identyczności wnioskujemy że \(\displaystyle{ f(z)=z+e^{z}}\) dla wszystkich zespolonych \(\displaystyle{ z}\).
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx}=\frac{dv}{dy}=1+e^{x}\cos{y}}\).
Po odcałkowaniu mamy
\(\displaystyle{ u(x,y)=x+{{\rm e}^{x}}\cos \left( y \right)}\)
Podstawmy teraz \(\displaystyle{ y=0}\).
Mamy wtedy \(\displaystyle{ f(x+i\cdot y) = u(x,y)+iv(x,y)=x+e^{x}+i\cdot 0}\).
Zauważmy zatem że dla liczb zespolonych z prostej rzeczywistej \(\displaystyle{ z=x\in \mathbb{R}}\) funkcja pokrywa się z
\(\displaystyle{ f(z)=z+e^{z}}\).
Z zasady identyczności wnioskujemy że \(\displaystyle{ f(z)=z+e^{z}}\) dla wszystkich zespolonych \(\displaystyle{ z}\).