Oblicz liczbę zespoloną

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Brodziol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 1 sty 2009, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

Oblicz liczbę zespoloną

Post autor: Brodziol »

Obliczyć liczbę zespoloną i przedstawić ją na płąszczyźnie!

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-i)^{6}}= \frac{1}{1+6i^{1}+15i^{2}+20i^{3}+15i^{4}+6i^{5}+i^{6}}= \frac{1}{1+6i-15-20i+15+6i-1}= \frac{1}{-8i}\cdot \frac{i}{i}= \frac{i}{8}=?}\)

I dalej nie wiem co z tym zrobić? I nie wiem czy dobrze w ogóle kombinuje! Da ktoś pomysła?!
Ostatnio zmieniony 16 lut 2009, o 17:53 przez Brodziol, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Oblicz liczbę zespoloną

Post autor: Nakahed90 »

Pomnóż licznik i mianownik przez i.
Brodziol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 1 sty 2009, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

Oblicz liczbę zespoloną

Post autor: Brodziol »

Zrobione, co dalej?(sprawdź czy dobrze)
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Oblicz liczbę zespoloną

Post autor: Nakahed90 »

\(\displaystyle{ (1-i)^{6}=1-6i+15i^{2}-20i^{3}+15i^{4}-5i^{5}+i^{6}=1-6i-15+20i+15-5i-1=8i}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-i)^{6}}=\frac{1}{8i}=\frac{i}{-8}}\)
Brodziol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 1 sty 2009, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

Oblicz liczbę zespoloną

Post autor: Brodziol »

Spoko, teraz tylko przedstawić to na płaszczyźnie! Czyli ile równa się X, a ikle Y?

Ps. Która wersja jest prawdziwa?
a)\(\displaystyle{ i^{4=( i^{2} \cdot i^{2})=-1 \cdot (-1)=+1 }}\)
b)\(\displaystyle{ i^{4}=-1}\)
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Oblicz liczbę zespoloną

Post autor: Nakahed90 »

\(\displaystyle{ i^{4}=1}\)

Liczba \(\displaystyle{ \frac{-i}{8}}\) nie zawiera części rzeczywistej, czyli będzie położona na osi urojonej.
Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

Oblicz liczbę zespoloną

Post autor: Dedemonn »

Ta :

\(\displaystyle{ i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1}\)

Oczywiście a) też jest tym samym - nie wiem dlaczego masz wątpliwości.
Brodziol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 1 sty 2009, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

Oblicz liczbę zespoloną

Post autor: Brodziol »

Dzięki panowie, już rozumuje!:]
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Oblicz liczbę zespoloną

Post autor: Mariusz M »

Czy nie lepiej jest skorzystac ze wzoru de Moivre

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \left(1-i \right)^{6} }=}\)

\(\displaystyle{ \left( 1-i\right)^{-6}=}\)

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} \left( \cos{ \frac{-\pi}{4} }+i\sin{ \frac{-\pi}{4} }\right) \right)^{-6}}\)

\(\displaystyle{ \left(\sqrt{2}\right)^{-6} \left( \cos{ \frac{6\pi}{4}+i\sin{ \frac{6\pi}{4} } }\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \left( \cos{ \frac{3\pi}{2}}+i\sin{ \frac{3\pi}{2} } }\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \left( \cos{ \frac{-\pi}{2}}+i\sin{ \frac{-\pi}{2} } }\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \left( \cos{ \frac{\pi}{2}}-i\sin{\frac{\pi}{2} } }\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \left( -i\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{-i}{8}}\)
ODPOWIEDZ