Jak narysować te liczby zespolonych spełniające warunki?

[klapson]

1.
\(\displaystyle{ Im\left(z^{2}\right) \ge Re \left[ \left( {\overline{z}}^4\right) \right]}\)

2.
\(\displaystyle{ Im \frac{ \left( 1+i\right)z }{\left( 1-i\right)\overline{z}} \ge 0}\)

[Dedemonn]

2.
\(\displaystyle{ Im \frac{ \left( 1+i\right)z }{\left( 1-i\right)\overline{z}} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ z = r (cos\varphi + i \cdot sin\varphi)}\)

\(\displaystyle{ \frac{(1+i)z}{(1-i)\overline{z}} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2z}{2\overline{z}} = \frac{2i \cdot z}{2\overline{z}} = i\frac{r(cos\varphi+isin\varphi)}{r(cos\varphi-isin\varphi)} = i (cos2\varphi+isin2\varphi) = icos2\varphi-sin2\varphi}\)

\(\displaystyle{ Im\frac{ \left( 1+i\right)z }{\left( 1-i\right)\overline{z}} = cos2\varphi \geq 0}\)

Stąd

\(\displaystyle{ 2\varphi \in (-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad \varphi \in (-\frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} ) + k\pi \quad , k\in\mathbb{Z}}\)

Pozostaje narysować (tego już w TeX-u nie zrobię).


Z pierwszym kombinuj analogicznie.


Pozdrawiam.