Równanie a'la kwadratowe

[klapson]

Mam takie dwa przykłady do obliczenia. Bardzo prosiłbym o pokierowanie mnie, jak je "ugryźć" .

1.
\(\displaystyle{ z^{2} -(6+i)z+11-7i=0}\)

2.
\(\displaystyle{ z^{3}-6iz^{2}-12z+8i=0}\)

[Dedemonn]

1)

Rozwiąż jak normalne równanie kwadratowe rzeczywiste postaci \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\), tyle że tu

\(\displaystyle{ b = -6-i \\
c = 11-7i}\)

2)

Wzorek się kłania:

\(\displaystyle{ (z-2i)^3}\)

[klapson]

1)

Rozwiąż jak normalne równanie kwaDratowe rzeczywiste postaci \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\), tyle że tu

\(\displaystyle{ b = -6-i \\
c = 11-7i}\)

WychoDzi
\(\displaystyle{ \Delta = -9 + 40i}\)
Rozumiem, że mam policzyć:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta = -9 + 40i}= \left{z_{0}, z_{1} \right}}\)
Ale niestety nie potrafię obliczyć pierwiastków z takiej liczby "książkowymi" sposobami...

W każDym razie wyjDą te
\(\displaystyle{ z_{0}\ i\ z_{1}}\)
i wteDy:
\(\displaystyle{ \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-b- z_{0}}{2a}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-b+ z_{0}}{2a}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-b- z_{1}}{2a}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-b+ z_{1}}{2a}}\)

... i mamy 4 rozwiązania. Dobrze to rozumuję?

2)

Wzorek się kłania:

\(\displaystyle{ (z-2i)^3}\)

No właśnie, też tak myślałem, że to będzie \(\displaystyle{ (a-b)^{3}}\), ale nie mogłem wpaść jak to będzie wyglądać. Ale zaraz... zaćmienie! Jak to pociągnąć dalej?

[Dedemonn]

2)

Pierwiastkiem trzykrotnym jest \(\displaystyle{ z_0 = 2i}\).

1)

Algebraicznie pierwiastki z liczby zespolonej liczy się w sposób następujący:

\(\displaystyle{ \sqrt{-9+40i} = a+bi \quad \slash^2 \\
-9+40i = a^2-b^2+2abi}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2 = -9 \\ 2ab = 40 \end{cases}}\)

Rozwiązujesz układ i otrzymujesz 2x a i b.