równanie z liczbami zespolonymi (suma pierwiastków)

[sarafka]

Bardzo prosze o pomoc z tym zadaniem:

Niech \(\displaystyle{ z_{1}, \ ... \ ,z_{5}}\) oznaczają pierwiastki równania:

\(\displaystyle{ z^5 + \sqrt{3} z^4 - z^2 +2=0 , \ z\in \mathbb{Z}.}\)

Wynaczyc \(\displaystyle{ Im(z_{1} + z_{2} + z_{3} + z_{4} + z_{5})}\). Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ z_{k}= \vec {z_{k}} \ dla \ pewnego \ k \in {1,2,3,4,5}?}\)

tzn. czy zk= zk sprzężone.

Będę wdzieczna za pomoc!

[Crizz]

Odpowiedź na pierwsze pytanie:
Współczynnik przy \(\displaystyle{ z^{4}}\) jest rzeczywisty, czyli \(\displaystyle{ Im(z_{1}+z_{2}+...+z_{5})=0}\)

Odpowiedź na drugie pytanie:
Prawda, bo każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek rzeczywisty (wynika to np. z twierdzenia Darboux).