Pierwiastek z liczby zespolonej algebraicznie?

goofy3 · Post autor: **goofy3** » 15 lut 2009, o 15:32

Witam,
taki pierwiastek z liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ z= \sqrt{-5+12i}}\)

Czy można obliczyć go algebraicznie? Mieliśmy dzisiaj takie zadania na egzaminie, treść zadania oraz miejsce potrzbne na wyliczenie jednoznacznie wskazywało na metodę algebraiczną, tylko pytanie jak to zrobić?
Np. \(\displaystyle{ z= \sqrt{2i}}\)

Bez problemu zrobię, w tym jednak trochę się pogubiłem :/

pozdrawiam

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 15 lut 2009, o 15:54

Przyjmujemy, że \(\displaystyle{ z = a+bi}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ a+bi = \sqrt{-5+12i}\ \ \slash^2 \\
a^2-b^2+2abi = -5+12i}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2 = -5 \\ 2ab = 12 \end{cases}}\)

Rozwiąż układ, otrzymasz 2 pary liczb a i b, które są rozwiązaniami (postaci oczywiście \(\displaystyle{ a+bi}\))

Pozdrawiam.

goofy3 · Post autor: **goofy3** » 15 lut 2009, o 16:05

Wielkie dzięki, ale jak to się mówi, z deszczu pod rynnę
Otrzymałem coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{36}{b ^{2} } - b ^{2} =-5}\)

I ni jak nie mogę z tego do b dojść... Podstawowe równanie, aż wstyd mi pytać

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 15 lut 2009, o 16:22

Pomnóż przez \(\displaystyle{ b^2}\). Otrzymasz równanie dwukwadratowe (podstawiasz \(\displaystyle{ b=t^2}\) czy coś w tym stylu).

goofy3 · Post autor: **goofy3** » 15 lut 2009, o 16:43

Dzięki, teraz wszystko ładnie wyszło

maly3008 · Post autor: **maly3008** » 15 lut 2009, o 22:57

podstawiasz b=\(\displaystyle{ t^{2}}\) czy coś w tym stylu)

troche inaczej, powinno byc za \(\displaystyle{ b^{2}}\) podstawiasz t \(\displaystyle{ b^{2}}\)=t

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 15 lut 2009, o 23:34

Przeca mówię, że "coś w tym stylu".

Grunt, że goofy chodził do gimnazjum i sobie poradził. ^_^

goofy3 · Post autor: **goofy3** » 17 lut 2009, o 10:09

Nie ten rocznik, mój rocznik był ostatnim z 8 letnią podstawówką

A co do zadania, to jeszcze jedno szybkie pytanko, w tym przypadku przyjmuje

\(\displaystyle{ t \ge 0}\)

i po obliczeniu pierwiastków odrzucam ten co jest \(\displaystyle{ \le 0}\) ? A jak wyjdą oba \(\displaystyle{ \ge 0}\) to otrzymuje 4 rozwiązania, jak oba \(\displaystyle{ \le 0}\) to brak rozwiązań?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 17 lut 2009, o 11:55

W razie jakichś wątpliwości zapraszam tutaj 23611.htm