Mam problem z tym zadaniem:
Podaj interpretacje geometryczną zbioru:
\(\displaystyle{ A=\{ z\in \mathbb{Z}:\quad |z^2 - i| < |z^2 - 1| \} \\
po \ przekształceniach \ dochodzę \ do: \\
\sqrt{(x^2-y^2)^{2} + (2xy-1)^{2}} < \sqrt{(x^2 - y^2 - 1)^{2} + (2xy)^{2}}
\\ i \ dalej \ do: \\
x^2 - 2xy - y^2 < 0}\)
No i nie wiem jak to narysować (czy to elipsa...?). Czy w ogóle mój tok myślenia jest dobry? Nie zrobiłam nigdzie błędu...?
interpretacja graficzna zbioru w liczbach zespolonych
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
interpretacja graficzna zbioru w liczbach zespolonych
Przekształcenia są ok.
Nie, to nie jest elipsa.
Rozłóżmy co napisałaś na czynniki
\(\displaystyle{ x^2-2xy+y^2-2y^2 = (x-y)^2-\left(\sqrt{2}y\right)^2 = \left(x-y-\sqrt{2}y\right)\left(x-y+\sqrt{2}y\right)}\).
Równanie brzegu zbioru \(\displaystyle{ 0=\left(x-y-\sqrt{2}y\right)\left(x-y+\sqrt{2}y\right)}\) to dwie proste \(\displaystyle{ [[y= \left( -1+\sqrt {2} \right) x],[y= \left( -1-\sqrt {2} \right) x]
]}\).
Narysuj te dwie proste. Dzielą płaszczyznę na 4 kawałki.
Żeby zachodziła nierówność musisz dobrać odpowiednio znaki w czynnikach, na dwa sposoby (pierwszy ujemny drugi dodatni lub na odwrót). Wybór znaku w jednym czynniku daje półpłaszczyznę,w drugim też a przecięcie to "ćwiartka". Całość to któreś dwie ćwiartki półpłaszczyzny, wyznaczone przez narysowanie tych dwóch prostych.
-- 15 lut 2009, o 10:40 --
Jest jeszcze drugi sposób, bardziej geometryczny i właściwie lepszy. Podstawmy \(\displaystyle{ z^2=w}\) i rozpatrzmy najpierw nierówność
\(\displaystyle{ |w-i| < |w-1|}\).
Równanie \(\displaystyle{ |w-i| = |w-1|}\) definiuje z definicji modułu symetralną odcinka łączącego punkty \(\displaystyle{ 1,i}\). Nierówność zatem definiuje jedną stronę tej symetralnej, czyli półpłaszczyznę.
Teraz trzeba się zastanowić jaki jest jej przeciwobraz przy odwzorowaniu \(\displaystyle{ w=z^2}\), czyli jakie \(\displaystyle{ z}\) przechodzą na tą półpłaszczyznę \(\displaystyle{ w}\).
To jest łatwe, bo prosta przechodzi przez \(\displaystyle{ 0}\), trzeba rozpatrzyć półproste wychodzące z \(\displaystyle{ 0}\) i wykorzystać to że przy \(\displaystyle{ z \rightarrow z^2}\) przechodzą na proste a kąt nachylenia się podwaja. Wypisanie odpowiednich nierówności na kąty znowu da ćwiartki płaszczyzny.
Nie, to nie jest elipsa.
Rozłóżmy co napisałaś na czynniki
\(\displaystyle{ x^2-2xy+y^2-2y^2 = (x-y)^2-\left(\sqrt{2}y\right)^2 = \left(x-y-\sqrt{2}y\right)\left(x-y+\sqrt{2}y\right)}\).
Równanie brzegu zbioru \(\displaystyle{ 0=\left(x-y-\sqrt{2}y\right)\left(x-y+\sqrt{2}y\right)}\) to dwie proste \(\displaystyle{ [[y= \left( -1+\sqrt {2} \right) x],[y= \left( -1-\sqrt {2} \right) x]
]}\).
Narysuj te dwie proste. Dzielą płaszczyznę na 4 kawałki.
Żeby zachodziła nierówność musisz dobrać odpowiednio znaki w czynnikach, na dwa sposoby (pierwszy ujemny drugi dodatni lub na odwrót). Wybór znaku w jednym czynniku daje półpłaszczyznę,w drugim też a przecięcie to "ćwiartka". Całość to któreś dwie ćwiartki półpłaszczyzny, wyznaczone przez narysowanie tych dwóch prostych.
-- 15 lut 2009, o 10:40 --
Jest jeszcze drugi sposób, bardziej geometryczny i właściwie lepszy. Podstawmy \(\displaystyle{ z^2=w}\) i rozpatrzmy najpierw nierówność
\(\displaystyle{ |w-i| < |w-1|}\).
Równanie \(\displaystyle{ |w-i| = |w-1|}\) definiuje z definicji modułu symetralną odcinka łączącego punkty \(\displaystyle{ 1,i}\). Nierówność zatem definiuje jedną stronę tej symetralnej, czyli półpłaszczyznę.
Teraz trzeba się zastanowić jaki jest jej przeciwobraz przy odwzorowaniu \(\displaystyle{ w=z^2}\), czyli jakie \(\displaystyle{ z}\) przechodzą na tą półpłaszczyznę \(\displaystyle{ w}\).
To jest łatwe, bo prosta przechodzi przez \(\displaystyle{ 0}\), trzeba rozpatrzyć półproste wychodzące z \(\displaystyle{ 0}\) i wykorzystać to że przy \(\displaystyle{ z \rightarrow z^2}\) przechodzą na proste a kąt nachylenia się podwaja. Wypisanie odpowiednich nierówności na kąty znowu da ćwiartki płaszczyzny.