Nie wykonując dzielenia rozstrzygnać przez któy z wielomianów :
z-i
z + 1/2 - sqrt 3/2i
dzieli się wielomian z ^30 - 1
Odpowiedź uzasadnić !
wielomiany
-
Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
wielomiany
Jeśli wielomian \(\displaystyle{ S(z)}\) dzieli wielomian \(\displaystyle{ W(z)}\), to zachodzi
\(\displaystyle{ W(z) = S(z) \cdot Q(z)}\) , gdzie \(\displaystyle{ Q(z)}\) jest jakimś wielomianem.
Zatem podstawiamy nasze wielomiany. Pierwszy \(\displaystyle{ z-i}\) :
\(\displaystyle{ z^{30}-1 = (z-i) \cdot Q(z)}\)
Widzimy, że dla \(\displaystyle{ z=i}\) prawa strona się zeruje, a że mamy równość, to lewa również powinna się wtedy zerować. Ale:
\(\displaystyle{ i^{30} - 1 = (i^2)^15 -1 = -1 -1 = -2 \neq 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ z-i}\) nie dzieli \(\displaystyle{ z^{30}-1}\).
Sprawdzamy \(\displaystyle{ z+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\) :
\(\displaystyle{ z^{30}-1 = (z+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i) \cdot Q(z)}\)
Analogicznie sprawdzamy czy:
\(\displaystyle{ (-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{30}-1 = 0}\)
Nie liczę już tego, bo zakładam, że podstawy z liczb zespolonych posiadasz i podnosić do potęgi potrafisz używając wzorów de Moivre'a.
Powiem tylko, że ten wielomian dzieli \(\displaystyle{ z^{30}-1}\).
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ W(z) = S(z) \cdot Q(z)}\) , gdzie \(\displaystyle{ Q(z)}\) jest jakimś wielomianem.
Zatem podstawiamy nasze wielomiany. Pierwszy \(\displaystyle{ z-i}\) :
\(\displaystyle{ z^{30}-1 = (z-i) \cdot Q(z)}\)
Widzimy, że dla \(\displaystyle{ z=i}\) prawa strona się zeruje, a że mamy równość, to lewa również powinna się wtedy zerować. Ale:
\(\displaystyle{ i^{30} - 1 = (i^2)^15 -1 = -1 -1 = -2 \neq 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ z-i}\) nie dzieli \(\displaystyle{ z^{30}-1}\).
Sprawdzamy \(\displaystyle{ z+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\) :
\(\displaystyle{ z^{30}-1 = (z+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i) \cdot Q(z)}\)
Analogicznie sprawdzamy czy:
\(\displaystyle{ (-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{30}-1 = 0}\)
Nie liczę już tego, bo zakładam, że podstawy z liczb zespolonych posiadasz i podnosić do potęgi potrafisz używając wzorów de Moivre'a.
Powiem tylko, że ten wielomian dzieli \(\displaystyle{ z^{30}-1}\).
Pozdrawiam.