Równania w liczbach zespolonych.

Ciamolek · Post autor: **Ciamolek** » 13 lut 2009, o 01:20

Rozwiąż równania:
\(\displaystyle{ z^{3}=(j-z)^{3} \\
z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0 \\
(j-z)^{n}=(jz-1)^{n}}\)

Prosiłbym o jak najpełniejsze rozwiązania albo przynajmniej dokładne wytłumaczenie. W sumie to nie bardzo wiem jak się za to zabrać i od czego zacząć.

Z góry dziękuję.

[Edit] żeby nie było niejasności: równania są od siebie niezależne (nie są układem równań).

pogrzex · Post autor: **pogrzex** » 13 lut 2009, o 09:45

Pierwsze równanie robiłbym z definicji, czyli zakładam: \(\displaystyle{ z=x+jy}\) podstawiam i podnoszę do potęg ze wzorów skróconego mnożenia. Upraszczam co się da (ważne jest wyłączenie "j" przed nawias gdzie się da) i przenoszę na lewą stronę. Następnie korzystam z twierdzenia, że liczba zespolona (w naszym przypadku lewa strona równania) równa się zero kiedy jej część rzeczywista jest równa zero oraz część zespolona (czyli wszystko co jest przy jednostce urojonej "j", dlatego trzeba ją wyłączyć wcześniej przed nawias) równa się zero. Na mocy tego twierdzenia mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, który trzeba rozwiązać. Jego rozwiązanie jest rozwiązaniem równania.

Drugie równanie, tutaj chyba tam powinno być \(\displaystyle{ ...+1=0}\) jeśli tak to chyba trzeba znaleźć pierwszy pierwiastek w pamięci próbowałem z "j", ale nie wychodzi, z "-j" też nie wychodzi chyba że źle liczę. Sam nie wiem jak to będzie w końcu.

Trzecie równanie.... ciekawe sam chciałbym wiedzieć pewnie coś z de Moivre'a.

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 13 lut 2009, o 18:23

Ciamolek pisze:\(\displaystyle{ z^{3}=(j-z)^{3}}\)

Możemy skorzystać ze wzoru na różnicę sześcianów:

\(\displaystyle{ z^3-(j-z)^3 = 0 \\
(z-(j-z))(z^2+z(j-z)+(j-z)^2)}\)

Pozostaje wykonać działania w każdym z nawiasów osobno i tak z pierwszego otrzymujemy pierwszy pierwiastek = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}j}\). W drugim nawiasie liczymy pierwiastki z trójmianu (po wymnożeniu oczywiście) jak z trójmianu rzeczywistego.

\(\displaystyle{ z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0}\)

Przychodzi mi na myśli tylko znajdowanie po kolei pierwiastków i dzielenie tego wielomianu przez \(\displaystyle{ (z-pierwiastek)}\). Pierwszy widać na oko -> \(\displaystyle{ -1}\).