Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równanie:
\(\displaystyle{ z ^{4} - ( 1 - i)^{4} = 0}\)
Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równanie:
-
Ptaq666
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła / Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 154 razy
Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równanie:
\(\displaystyle{ x^{4} = (1-i)^{4}}\)
Jak widać równanie ma 4 pierwiastki, z czego można wywnioskować, że ich argumenty główne różnią się o 90 stopni. Jednym z pierwiastków równania jest x = 1-i. Żeby znaleźć pozostałe wystarczy obrócić tą liczbę 3 razy o 90 stopni. Obrót o dany kąt można utożsamić z pomnożeniem danej liczby przez liczbę o zadanym kącie i module równym jeden. Liczba i jest tym czego szukamy.
Więc :
\(\displaystyle{ x_{1} = 1-i \\ x_{2} = (1-i)i = 1+i \\ x_{3} = (1+i)i = i-1 \\ x_{4} = (i-1)i = -i -1}\)
To jest wygodny sposób dla pierwiastków 4 stopnia. W pozostałych przypadkach szybciej jest korzystać ze wzoru de Moivre'a
Jak widać równanie ma 4 pierwiastki, z czego można wywnioskować, że ich argumenty główne różnią się o 90 stopni. Jednym z pierwiastków równania jest x = 1-i. Żeby znaleźć pozostałe wystarczy obrócić tą liczbę 3 razy o 90 stopni. Obrót o dany kąt można utożsamić z pomnożeniem danej liczby przez liczbę o zadanym kącie i module równym jeden. Liczba i jest tym czego szukamy.
Więc :
\(\displaystyle{ x_{1} = 1-i \\ x_{2} = (1-i)i = 1+i \\ x_{3} = (1+i)i = i-1 \\ x_{4} = (i-1)i = -i -1}\)
To jest wygodny sposób dla pierwiastków 4 stopnia. W pozostałych przypadkach szybciej jest korzystać ze wzoru de Moivre'a