pierwiastki stopnia 3. z liczby zespolonej

[maly3008]

Mam do rozwiązania zadanie, wiec prosze o pomoc.
Wyznacz wszystkie pierwiastki stopnia trzeciego z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z = -8i}\)

z gory dziekuje

-- 12 lut 2009, o 15:01 --

w zasadzie prosze tylko o podanie krok po kroku i wzorow bo podstawic bede umial

[Szemek]

wykorzystaj to

czasem warto przejrzeć forum, to nie takie trudne

[Crizz]

Wzór: masz postać algebraiczną \(\displaystyle{ z=x+yi}\). Zamieniasz ją na postać trygonometryczną: \(\displaystyle{ z=|z|(cos\alpha+isin\alpha)}\), gdzie \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},sin\alpha=\frac{y}{|z|},cos\alpha=\frac{x}{|z|}}\).

Potem korzystasz ze wzoru na pierwiaski n-tego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=|z|(cos\alpha+isin\alpha)}\):

\(\displaystyle{ w_{k}=\sqrt[n]{|z|}\left(cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+isin\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right),k=0,1,2,...,n-1}\)

\(\displaystyle{ z=-8i=8(-i)=8(cos\frac{3\pi}{2}+isin\frac{3\pi}{2})}\)
\(\displaystyle{ w_{0}=2\left(cos\frac{3\pi}{6}+isin\frac{3\pi}{6}\right)=2i}\)
\(\displaystyle{ w_{1}= 2\left(cos \frac{\frac{3\pi}{2}+2\pi}{3} +isin \frac{\frac{3\pi}{2}+2\pi}{3} \right) =2\left(cos \frac{7\pi}{6} +isin \frac{7\pi}{6} \right)=-\sqrt{3}-i}\)
\(\displaystyle{ w_{2}= 2\left(cos \frac{\frac{3\pi}{2}+4\pi}{3} +isin \frac{\frac{3\pi}{2}+4\pi}{3} \right) =2\left(cos \frac{11\pi}{6} +isin \frac{11\pi}{6} \right)=\sqrt{3}-i}\)

[maly3008]

Wielkie dzieki za pomoc:)-- 14 lut 2009, o 15:01 --Czy ktos by mogl rozpisac mi \(\displaystyle{ w_{0}}\) a dokladniej to co jest w nawiasie.

[qwerty121]

@Crizz dlaczego kąt ci wyszedł \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{2}}\) według mnie powinno być \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Jeśli się mylę proszę o wyjaśnienie

Ok już rozumiem, zapomniałem o minusie