znajdź wszystkie pierwiastki.

[Eqauzm]

zad.1
Wiedząc że \(\displaystyle{ x _{1} = -1+i}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} +2x ^{2} + 5x ^{2} +6x+6}\) wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu.

zad.2
Rozwiąż równanie; \(\displaystyle{ x ^{3} = 8}\)

zad3. Oblicz
b) \(\displaystyle{ \left| ( \frac{1-i \sqrt{3} }{2} ) ^{378} \right|}\)

c) \(\displaystyle{ arg (1-i \sqrt{3} )}\)

[Crizz]

zad. 1
Skoro \(\displaystyle{ x_{1}=-1+i}\) jest pierwiastkiem W i wielomian W nie ma współczynników nierzeczywistych, to domyślamy się, że \(\displaystyle{ x_{2}=\overline_{x_{1}}}=-1-i}\) też jest pierwiastkiem tego wielomianu; to oznacza, że wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-x_{1})(x-x_{2})=x^{2}+2x+2}\). Dzieląc wielomian przez \(\displaystyle{ x^{2}+2x+2}\), otrzymujemy wielomian \(\displaystyle{ x^{2}+3}\), zatem \(\displaystyle{ x_{3}=i\sqrt{3},x_{4}=-i\sqrt{3}}\).

-- 12 lutego 2009, 15:44 --

zad.2
a.)
\(\displaystyle{ x^{3}=8}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-8=0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x^{2}+2x+4)=0}\)
1:
\(\displaystyle{ x-2=0}\)
\(\displaystyle{ x=2}\)
2:
\(\displaystyle{ x^{2}+2x+4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-12}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=2i\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=1+i\sqrt{3},x_{3}=1-i\sqrt{3}}\)

Obawiam się, że b i c nie są równaniami.-- 12 lutego 2009, 20:47 --b) \(\displaystyle{ \left| ( \frac{1-i \sqrt{3} }{2} ) ^{378} \right| = \left| 2\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3} }{2} \right) ^{378} \right| = \left| 2\left(cos(-60^{o})+sin(-60^{o}) \right) ^{378} \right| = |2^{378}(cos(-22680^{o})+isin(-22680^{o})| = |2^{378}(cos(-60 \cdot 360^{o})+isin(-60\cdot360^{o})|=2^{378}}\)

c) \(\displaystyle{ arg (1-i \sqrt{3} )= arg(2(cos(-60^{o})+isin(-60^{o})) = arg(2(cos(300^{o})+isin(300^{o}))=300^{o}}\)