Obliczyć ( de Moivre )

[xena1]

Nie wiem jak zabrać sie za zadanie :

\(\displaystyle{ ( \sqrt{3+i})^{40}}\)

Z góry dzięki

[Morusek]

Nie wiem jak zabrać sie za zadanie :

\(\displaystyle{ ( \sqrt{3+i})^{40}}\)

Z góry dzięki

Na pewno chodzi Ci o : \(\displaystyle{ ( \sqrt{3+i})^{40}}\) , a nie
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}+i)^{40}}\) ??

[xena1]

Tak, tak, przepraszam
ma być \(\displaystyle{ ( \sqrt{3}+1 )^{40}}\)

[miodzio1988]

to jaki problem jest w tym aby zastosowac wzor de Moivre'a??

[Morusek]

\(\displaystyle{ z= \sqrt{3} + i}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ sin \phi = \frac{1}{2}
\end{cases} \Rightarrow \phi = \frac{\pi}{6}}\)

Więc w liczba \(\displaystyle{ z= \sqrt{3} + i}\) w postaci trygonometrycznej wygląda tak:

\(\displaystyle{ z=2\cdot (cos\phi + isin\phi)}\) , więc \(\displaystyle{ z^{40}}\) równa się :

\(\displaystyle{ z^{40} = 2^{40} (cos(40 \cdot \frac{\pi}{6}) + isin(40 \cdot \frac{\pi}{6}))= 2^{40} (cos(2\pi \cdot 3 + \frac{2\pi}{3}) + isin(2\pi \cdot 3 + \frac{2\pi}{3}))}\)

Teraz z wzorów redukcyjnych mamy:

\(\displaystyle{ =2^{40} ( cos(\frac{2\pi}{3}) + isin(\frac{2\pi}{3})}\)

\(\displaystyle{ = 2^{40} (cos( \frac{2\pi}{3}) + isin(\frac{2\pi}{3}) = 2^{40} (cos(\pi - \frac{\pi}{3})
+ isin(\pi - \frac{\pi}{3})}\)

\(\displaystyle{ = 2^{40} (-cos(\frac{\pi}{3}) + isin(\frac{\pi}{3})) = 2^{40} (- \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} ).}\)

Pzdr.

[anapolon3]

potrafilby ktos zaznaczyc ten wynik na plaszczyznie liczb zespolonych?

[Dedemonn]

A gdzie tu problem?

Współrzędna rzeczywista: \(\displaystyle{ -2^{39}}\)
Współrzędna urojona: \(\displaystyle{ 2^{39}\sqrt{3}}\)