rozwiąż równanie

blantozaur · Post autor: **blantozaur** » 10 lut 2009, o 18:14

Poproszę o wskazówki jak do tego się zabrać ?

\(\displaystyle{ z^{4} \overline{z}=-32}\)

Crizz · Post autor: **Crizz** » 10 lut 2009, o 18:24

Niech \(\displaystyle{ z=|z|(cosx+isinx)}\)
\(\displaystyle{ z\cdot \overline{z}=|z|^{2}}\), zatem równanie możesz zapisać jako:
\(\displaystyle{ |z|^{5}(cos3x+isin3x)=-32}\)

Teraz możesz albo spierwiastkować obie strony, albo znaleźć wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ sin3x=0}\) w przedziale \(\displaystyle{ <0,2\pi>}\); w ten sposób znajdziesz argumenty główne liczb spełniających równanie, a z ostatniej zależności moduły tych liczb.

soku11 · Post autor: **soku11** » 10 lut 2009, o 20:14

Latwiej chyba bedzie skorzystac z postaci wykladniczej liczby zespolonej, tj:
\(\displaystyle{ z=x+iy=|z|e^{i\varphi}\\
|z|=x-iy=|z|e^{-i\varphi}\\}\)

Stad:
\(\displaystyle{ z^{4} \overline{z}=-32\\
|z|^4 e^{4i\varphi}\cdot |z|e^{-i\varphi}=32e^{i\pi}\\
|z|^5 e^{3i\varphi}=2^5e^{i\pi}\\}\)

Dalej juz prosto Pozdrawiam.