równanie - l. zespolone

[logx]

witam,
mam prośbę, chciałbym się dowiedzieć jakie będzie rozwiązanie tego zadania i co po kolei się robi?:

\(\displaystyle{ z^{4}=i^{102}}\)

zadanie może banalne ale ja mam z nim problem, gdyż wynik jaki mi wychodzi to \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-1}}\)
a takiej liczby niema

z góry dzięki

[Szemek]

\(\displaystyle{ i^{102} = (-1)^{51} = -1}\)

\(\displaystyle{ z^4=-1 \\
|z^4|=1 \\
\begin{cases} \cos \varphi = -1 \\ \sin \varphi = 0 \end{cases} \\
\varphi = \pi \\
z_1 = \cos \frac{\pi + 0 \pi }{4} + i\sin \frac{\pi + 0 \pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \\
z_2 = \cos \frac{\pi + 2 \pi }{4} + i\sin \frac{\pi + 2 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \\
z_3 = \cos \frac{\pi + 4 \pi }{4} + i\sin \frac{\pi + 4 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2}i \\
z_4 = \cos \frac{\pi + 6 \pi }{4} + i\sin \frac{\pi + 6 \pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2}i}\)

[sir_matin]

Jest to równanie w zbiorze liczb zespolonych więc rozwiązań jest dokładnie tyle jaki jest stopień równania i wszystko tu istnieje tylko należy rozwiązywać po kolei. Skorzystaj ze wzoru de Moivre'a :

\(\displaystyle{ z_{k}= \sqrt[n]{ \left|z \right| } (\cos \frac{\varphi +2k \pi}{n}+i\sin \frac{\varphi +2k \pi}{n}) \ \ \ \ gdzie \ \ \ k=0,1,2...n-1.}\)

[logx]

aha, dzięki wielkie