witam,
mam prośbę, chciałbym się dowiedzieć jakie będzie rozwiązanie tego zadania i co po kolei się robi?:
\(\displaystyle{ z^{4}=i^{102}}\)
zadanie może banalne ale ja mam z nim problem, gdyż wynik jaki mi wychodzi to \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-1}}\)
a takiej liczby niema
z góry dzięki
równanie - l. zespolone
- Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
równanie - l. zespolone
\(\displaystyle{ i^{102} = (-1)^{51} = -1}\)
\(\displaystyle{ z^4=-1 \\
|z^4|=1 \\
\begin{cases} \cos \varphi = -1 \\ \sin \varphi = 0 \end{cases} \\
\varphi = \pi \\
z_1 = \cos \frac{\pi + 0 \pi }{4} + i\sin \frac{\pi + 0 \pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \\
z_2 = \cos \frac{\pi + 2 \pi }{4} + i\sin \frac{\pi + 2 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \\
z_3 = \cos \frac{\pi + 4 \pi }{4} + i\sin \frac{\pi + 4 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2}i \\
z_4 = \cos \frac{\pi + 6 \pi }{4} + i\sin \frac{\pi + 6 \pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2}i}\)
\(\displaystyle{ z^4=-1 \\
|z^4|=1 \\
\begin{cases} \cos \varphi = -1 \\ \sin \varphi = 0 \end{cases} \\
\varphi = \pi \\
z_1 = \cos \frac{\pi + 0 \pi }{4} + i\sin \frac{\pi + 0 \pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \\
z_2 = \cos \frac{\pi + 2 \pi }{4} + i\sin \frac{\pi + 2 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \\
z_3 = \cos \frac{\pi + 4 \pi }{4} + i\sin \frac{\pi + 4 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2}i \\
z_4 = \cos \frac{\pi + 6 \pi }{4} + i\sin \frac{\pi + 6 \pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2}i}\)
- sir_matin
- Użytkownik
- Posty: 374
- Rejestracja: 11 mar 2006, o 12:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Legnica
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 74 razy
równanie - l. zespolone
Jest to równanie w zbiorze liczb zespolonych więc rozwiązań jest dokładnie tyle jaki jest stopień równania i wszystko tu istnieje tylko należy rozwiązywać po kolei. Skorzystaj ze wzoru de Moivre'a :
\(\displaystyle{ z_{k}= \sqrt[n]{ \left|z \right| } (\cos \frac{\varphi +2k \pi}{n}+i\sin \frac{\varphi +2k \pi}{n}) \ \ \ \ gdzie \ \ \ k=0,1,2...n-1.}\)
\(\displaystyle{ z_{k}= \sqrt[n]{ \left|z \right| } (\cos \frac{\varphi +2k \pi}{n}+i\sin \frac{\varphi +2k \pi}{n}) \ \ \ \ gdzie \ \ \ k=0,1,2...n-1.}\)