Potęgowanie liczb zespolonych.

sawantil · Post autor: **sawantil** » 28 gru 2005, o 15:28

prosze o pomoc przy takim wyrażeniu: \(\displaystyle{ (2-2sqrt{3}i)^3=?}\)

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 28 gru 2005, o 15:34

Zapewne znasz wzór de Moivre'a, więc go zastosuj:) Jesli nie, to możesz skorzystać zawsze z normalnego wzoru na (a-b)^3.

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

sawantil · Post autor: **sawantil** » 28 gru 2005, o 15:44

wzór de Moivre'a... racja, kobinowałem z dwumianem Newtona
Dzieki

[ Dodano: Sro Gru 28, 2005 7:54 pm ]
a moge poprosić o sprawdzenie tego czy jest poprawnie?
\(\displaystyle{ (2-2sqrt{3}i)^3=}\)\(\displaystyle{ 3\choose 0}\)\(\displaystyle{ *2^3*(-2sqrt{3})^0*i^0+}\)\(\displaystyle{ 3\choose 1}\)\(\displaystyle{ *2^2*(-2sqrt{3})^1*i^1+}\)\(\displaystyle{ 3\choose 2}\)\(\displaystyle{ 2^1*(-2sqrt{3})^2*i^2+}\)\(\displaystyle{ 3\choose 3}\)\(\displaystyle{ *2^0*(-2sqrt{3})^3*i^3=}\)
\(\displaystyle{ \frac{3!}{0!(3-0)!}*8*1*1+\frac{3!}{1!(3-1)!}*4*(-2sqrt{3})^1*i^1+\frac{3!}{2!(3-2)!}*2*(-2sqrt{3})^2*i^2+\frac{3!}{3!(3-3)!}*1^0*(-2sqrt{3})^3*i^3=}\)
\(\displaystyle{ \frac{6}{0!*6}*8+3*(-8sqrt{3})*i+6*(-2sqrt{3})^2*i^2+\frac{6!}{6(0)!}=}\)
\(\displaystyle{ 8-24sqrt{3}i+72*(-1)+120=8-24sqrt{3}i-72+120=-24sqrt{3}i+56}\)

są tu zapisane elementarne obliczenia, ale zawsze na takich się wykładam, więc jak by ktoś mógł sprawdzić to będe nie zmiernie wdzięczny.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 28 gru 2005, o 19:41

Źle coś jest. Pisałem Ci przecież, żebyś spróbował z de Moivre'a

\(\displaystyle{ (2-2\sqrt{3}i)^3=64\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3 = 64(\cos -60^o + i\sin -60^o)^3 = 64(\cos -180^o + i\sin -180^o) = -64}\).

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

sawantil · Post autor: **sawantil** » 28 gru 2005, o 20:04

tak, ale doczytałem się że mam to zrobić w postaci kartezjańskiej

dzięki, będe próbował dalej... teraz przynajmniej znam prawidłową odpowiedz, będe do niej dążył

pozdrawiam
Łukasz Pawlak

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 28 gru 2005, o 20:11

Co do 'ręcznego' liczenia. Wystarczy przecież skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}\).

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

sawantil · Post autor: **sawantil** » 29 gru 2005, o 14:29

przez bezpośrednie wynożenie mam sprawdzić...

ale mam jeszcze dwa pytanie:
1. dlaczego wyszło Ci kąt 60 stopni, skoro kąt liczby zespolonej liczymy od osi x w lewo (przciwnie niż zegar), wektor (moduł) znajduje się w czwartej ćwiatrtce?
2. i co zrobiłeś, że wyszło Ci -64?

pozdrawiam
Łukasz P.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 29 gru 2005, o 15:08

\(\displaystyle{ \sin x = \frac{-\sqrt{3}}{2}\wedge \cos x = \frac{1}{2}\wedge x\in [-\pi, \pi]}\). Teraz widać? A -64, bo \(\displaystyle{ 64\cdot (-1) = -64}\).

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

sawantil · Post autor: **sawantil** » 29 gru 2005, o 16:31

czyli zawsze obliczamy \(\displaystyle{ \angle}\) między wektorem a osią X?
nadal nie wiem skąd -1 i z czego to wynika...

neurol · Post autor: **neurol** » 29 gru 2005, o 17:27

nie lepiej sprowadzic te liczbe zesp do postaci wykladniczej ???? Wtedy potegowanie sprowadzi sie do podniesienia do potegi modulu tej liczby i wymnorzenia kata.
wygladalo by to mniej wiecej tak
modul Z= √(x � +y �) z obliczen wychodzi modul Z=4
φ =arctg(Im{Z}/Re{Z}) i z obliczen wychodzi -60 czyli - Π/3 (pi/3)

wiec ostatecznie z=4e^(i φ)

a z� =4�e^3iφ i to by bylo na tyle
potem mozna wrocic na zesp trygonometryczne e^iφ =cos φ +isin φ

sawantil · Post autor: **sawantil** » 29 gru 2005, o 18:08

a mógłbyś rozpisać
"φ =arctg(Im{Z}/Re{Z}) i z obliczen wychodzi -60 czyli - Π/3 (pi/3)"

bo: Im{Z} - to y
Re{Z} - to x ... a dalej?

neurol · Post autor: **neurol** » 29 gru 2005, o 18:19

to bedzie tak:

im{z}=-2√3
re{z}=2
no i wstawiasz do wzoru na kat fi "φ =arctg(Im{Z}/Re{Z}) i z obliczen wychodzi -60 czyli - Π/3 (pi/3)" jasne ?

i teraz tak p[odnoscisz do 3 potegi wiec koncowy fi = -180 (mnozysz wyliczony kat razy stopien potegi) wiec wychodzi

4� =64
e^i(pi/2)=-1 wiec ostacteczie wychodzi -64

sawantil · Post autor: **sawantil** » 29 gru 2005, o 19:16

... no powiedzmy.
Dzięki

neurol · Post autor: **neurol** » 29 gru 2005, o 19:26

jeszcze raz
arctg wychodzi - √3
wiec to jest kat -60 stopni

aby podniesc do potegi liczbe zesp w postaci wykladniczej nalezy podniesc do potegi modul tej liczby oraz wymnozyc kat przez stopnien potegi i t ojest zrobione

co jest nie jasne ?

sawantil · Post autor: **sawantil** » 29 gru 2005, o 20:12

już wiem.

dzięki...
wychodzą braki z wykładów