LICZBY ZESPOLONE - policzyć

[Brodziol]

\(\displaystyle{ \frac{16}{(1+i)^{6}}}\)

Może mi ktoś policzyć to coś i mówić po kolei co i jak! I jeszcze POKAZAĆ to na PŁĄSZCZYŹNIE!

Tyle jakby co wynosi do potęgi 6;p
\(\displaystyle{ \((1+i)^{6}}\) = 1+6\(\displaystyle{ \ i^{1}}\)+15\(\displaystyle{ \ i^{2}}\)+20\(\displaystyle{ \ i^{3}}\)+15\(\displaystyle{ \ i^{4}}\)+6\(\displaystyle{ \ i^{5}}\)+\(\displaystyle{ \ i^{6}}\)

[natkoza]

\(\displaystyle{ z=1+i\\
|z|=\sqrt{2}\\
cos\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
sin\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
stąd \(\displaystyle{ \phi=\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ (1+i)^6=\sqrt{2}^6(cos \frac{6\pi}{4}+isin\frac{6\pi}{4})=8(0-i)=-8i}\)

\(\displaystyle{ \frac{16}{-8i}=-\frac{2}{i}=-\frac{2i}{-1}=2i}\)

mam nadzieje, ze się nigdzie nie pomyliłam

[Brodziol]

Skąd wziełaś że bezwzględna wartość zmiennej Z = \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)! Skąd te wnioski?

I czy nie ma innego sposobu rozwiązania!
Choćby tym wymnożeniem tego i+6 i później pozamieniać te np. \(\displaystyle{ i^{6}}\) = -1(rozumicie o co mi chodzi?)

I jeszcze wynik na płaszczyźnie przedstawić! czyli ile równa się x=? i y=?

[natkoza]

moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=a+bi}\) wyraża sie \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2}}\)

pewnie da sie policzyć inaczej, ale ten wydał mi się najszybszy

[Lorek]

\(\displaystyle{ (1+i)^2=2i}\)

[Brodziol]

\(\displaystyle{ (1+i)^6=\sqrt{2}^6(cos \frac{6\pi}{4}+isin\frac{6\pi}{4})=8(0-i)=-8i}\)

Może ktoś to wyjaśnić dokładnie!, dla mnie to black magic!

[natkoza]

skorzystałam tu jedynie ze wzoru Moivre'a na potęgę liczby zespolonej.. nic wiecej czego dokładnie nie rozumiesz?

[Brodziol]

Sprawdziłem ten wzór de... i wychodzi wszystko! A jakby tam zamiast potęgi byłby pierwiastek co by się zmieniło?!

[natkoza]

sposób liczenia byłby ten sam, tyle, ze trza było by zastosować wzór na pierwiastek z liczby zespolonej zamiast na potęgę