Równanie w zbiorze liczb zespolonych

[klapson]

Witam,
nie wiem jak rozwiązać to zadanie:

\(\displaystyle{ (\overline{z}^{3}-(1+i)z^{2})(z^{4}+1)=0}\)

\(\displaystyle{ \overline{z}^{3}-(1+i)z^{2}=0 \vee z^{4}=-1}\)

\(\displaystyle{ \overline{z}^{3} = (1+i)z^{2} \vee z^{4}=-1}\)

No cóż, nie zrobiłem nic twórczego. Drugie równanie rozwiązujemy chyba poprzez pierwiastokwanie, racja? A pierwsze jak?

[pogrzex]

Drugie równanie to chyba będzie \(\displaystyle{ z_{1} = i, z_{2} = -i}\) i obydwa są to pierwiastki podwójne, ale wiesz ja cienki jestem więc nie bierz tego do siebie niech się ktoś mądrzejszy wypowie

Natomiast pierwsze to chyba po prostu "dwie liczby zespolone są równe zero kiedy Realis jest równy zero oraz Imaginaris jest równy zero" więc wszędzie gdzie masz "z" wstaw "x + iy" i popodnoś do tych potęg, poupraszczaj co się da, potem wyłącz "i" przed nawias i przyrównaj oddzielnie Realis do zera oraz Im. do zera. (Imaginaris to wszystko co stoi przy "i" dlatego najlepiej wyłączyć i przed nawias dla ułatwień.

[Maciej87]

Do pierwszego postać biegunowa \(\displaystyle{ z = re^{it} \quad {\it conjugate} \left( z \right) = re^{-it}, 1+i=\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4} i }}\).
Dostajemy następujące równanie na kąt \(\displaystyle{ t}\) i promień \(\displaystyle{ r}\).
\(\displaystyle{ -3t = 2t + \frac{\pi}{4} + 2k\pi}\) oraz \(\displaystyle{ r^3 = \sqrt{2} r^2}\)