sprawdzenie równania

godzil · Post autor: **godzil** » 5 lut 2009, o 00:27

Witam, proszę o sprawdzenie czy dobrze liczę, mam równanie \(\displaystyle{ Z^{4}=( \sqrt{3} + i)^{6}}\), zacząłem rozwiązywać i nie wiem czy dobrze:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3} + i)^{6} = (( \sqrt{3} + i)( \sqrt{3} + i)^{2})^{2} = (2( \sqrt{3} + i))^{2} = ( 2\sqrt{3} + i2)^{2} = 12 - 4 = 8}\)

crimlee · Post autor: **crimlee** » 5 lut 2009, o 00:29

a może ze wzoru Moivre'a ?

godzil · Post autor: **godzil** » 5 lut 2009, o 00:42

myślałem że żeby skorzystać z tego wzoru trzeba najpier to w ten sposób policzyć ? z tego wyznaczam kąt na płaszczyźnie Gaussa i podstawiam do \(\displaystyle{ -Zi}\) i wyliczam pierwiastki, dobrze rozumuje ?

crimlee · Post autor: **crimlee** » 5 lut 2009, o 16:18

najpierw zamien prawa strone na postac tryg. potem podnies do potęgi 6. następnie wyciągnij pierwiastki 4-tego stopnia.

Śliwek · Post autor: **Śliwek** » 6 lut 2009, o 01:06

Generalnie bardzo źle rozumujesz, bo:

\(\displaystyle{ {(\sqrt{3} \ + \ i)}^2 \neq \{\sqrt{3}}^2 \ + \ {i}^2}\)
tylko:
\(\displaystyle{ {(\sqrt{3} \ + \ i)}^2 \ = \ {\sqrt{3}}^2 \ + \ {i}^2 \ + \ 2i\sqrt{3}}\).

Rozwiązanie równania wygląda nastepująco:

przyjmijmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{3} \ + \ i \ = \ b}\).

Zatem \(\displaystyle{ |b| \ = \ 2}\),
a \(\displaystyle{ \ctg \varphi \ = \sqrt{3}}\),
czyli \(\displaystyle{ \varphi \ = \frac{\pi}{6}}\).

Ze sprowadzenia do postaci trygonometrycznej i wzoru de Moivre'a mamy, że:
\(\displaystyle{ {b}^6 \ = \ {Z}^4 \ = \ {(\sqrt{3} \ + \ i)}^6 = {2}^6[\cos (6* \frac{\pi}{6}) \ + \ i \sin (6* \frac{\pi}{6})] \ = \ 64 (\cos \pi \ + \ i \sin \pi) \ = \ -64}\)

Wystarczy, więc rozwiązać równanie \(\displaystyle{ {Z}^4 \ = \ -64}\)