\(\displaystyle{ x^{4} +16=0}\)
tylko jeśli można to poproszę tak w miarę krok po kroku ...
Rozwiąż równanie w ciele liczb zespolonych
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
Rozwiąż równanie w ciele liczb zespolonych
\(\displaystyle{ x^4+16 = 0 \ \iff \ (x^2+4i)(x^2-4i) = 0}\)
A więc szukamy
\(\displaystyle{ x^2+4i = 0 \ \vee \ x^2-4i = 0}\)
czyli 4-ech pierwiastków.
Pierwsze 2 wyliczamy tak:
\(\displaystyle{ \Delta = -16i \ \Rightarow \sqrt{\Delta} = \sqrt{-16i}}\)
Rozwiązania są postaci:
\(\displaystyle{ x_i = \frac{\sqrt{\Delta}}{2}}\)
Liczymy sqrt{Delta} :
\(\displaystyle{ \sqrt{-16i} = a+bi \ \slash^2 \\
-16i = a^2-b^2+2abi}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2 = 0 \\ 2ab = -16 \end{cases}}\)
Rozwiąż ten układ równań, a otrzymasz 2 pary liczb zespolonych postaci \(\displaystyle{ a+bi}\). To są wartości \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) które wstawiamy do \(\displaystyle{ x_i}\). W ten sposób obliczyliśmy, dla jakich wartości \(\displaystyle{ x}\) równanie \(\displaystyle{ x^2+4i = 0}\).
Z drugim równanien postępujemy analogicznie.
W sumie otrzymujemy 4 pierwiastki i tym samym 4 rozwiązania układu.
Pozdrawiam.
A więc szukamy
\(\displaystyle{ x^2+4i = 0 \ \vee \ x^2-4i = 0}\)
czyli 4-ech pierwiastków.
Pierwsze 2 wyliczamy tak:
\(\displaystyle{ \Delta = -16i \ \Rightarow \sqrt{\Delta} = \sqrt{-16i}}\)
Rozwiązania są postaci:
\(\displaystyle{ x_i = \frac{\sqrt{\Delta}}{2}}\)
Liczymy sqrt{Delta} :
\(\displaystyle{ \sqrt{-16i} = a+bi \ \slash^2 \\
-16i = a^2-b^2+2abi}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2 = 0 \\ 2ab = -16 \end{cases}}\)
Rozwiąż ten układ równań, a otrzymasz 2 pary liczb zespolonych postaci \(\displaystyle{ a+bi}\). To są wartości \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) które wstawiamy do \(\displaystyle{ x_i}\). W ten sposób obliczyliśmy, dla jakich wartości \(\displaystyle{ x}\) równanie \(\displaystyle{ x^2+4i = 0}\).
Z drugim równanien postępujemy analogicznie.
W sumie otrzymujemy 4 pierwiastki i tym samym 4 rozwiązania układu.
Pozdrawiam.