Rozwiąż równanie w ciele liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
baq13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 1 lis 2008, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Turek/Kraków
Podziękował: 5 razy

Rozwiąż równanie w ciele liczb zespolonych

Post autor: baq13 »

\(\displaystyle{ x^{4} +16=0}\)
tylko jeśli można to poproszę tak w miarę krok po kroku ...
Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

Rozwiąż równanie w ciele liczb zespolonych

Post autor: Dedemonn »

\(\displaystyle{ x^4+16 = 0 \ \iff \ (x^2+4i)(x^2-4i) = 0}\)

A więc szukamy

\(\displaystyle{ x^2+4i = 0 \ \vee \ x^2-4i = 0}\)

czyli 4-ech pierwiastków.

Pierwsze 2 wyliczamy tak:

\(\displaystyle{ \Delta = -16i \ \Rightarow \sqrt{\Delta} = \sqrt{-16i}}\)

Rozwiązania są postaci:

\(\displaystyle{ x_i = \frac{\sqrt{\Delta}}{2}}\)

Liczymy sqrt{Delta} :

\(\displaystyle{ \sqrt{-16i} = a+bi \ \slash^2 \\
-16i = a^2-b^2+2abi}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2 = 0 \\ 2ab = -16 \end{cases}}\)

Rozwiąż ten układ równań, a otrzymasz 2 pary liczb zespolonych postaci \(\displaystyle{ a+bi}\). To są wartości \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) które wstawiamy do \(\displaystyle{ x_i}\). W ten sposób obliczyliśmy, dla jakich wartości \(\displaystyle{ x}\) równanie \(\displaystyle{ x^2+4i = 0}\).

Z drugim równanien postępujemy analogicznie.

W sumie otrzymujemy 4 pierwiastki i tym samym 4 rozwiązania układu.


Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ