Niech a,b oraz n będą liczbami naturalnymi. Wykorzystując liczby zespolone udowodnić, że istnieją liczby całkowite x,y dla których zachodzi równość:
\(\displaystyle{ (a^{2} +b^{2})^n = x^{2} +y^{2}}\)
udowodnić równość
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
udowodnić równość
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = (a + bi)(a - bi)\\
(a^{2} + b^{2})^{n} = (a + bi)^{n}(a - bi)^{n}}\)
\(\displaystyle{ (a + bi)^{n} = x + yi}\) przy czym \(\displaystyle{ x, y\in\mathbb{Z},}\) bo zbiór \(\displaystyle{ \{u + vi\ : \ u,v \in\mathbb{Z} \}}\) jest zamknięty ze względu na mnożenie. Ponadto działając na obie strony tej równości sprzężeniem dostajemy \(\displaystyle{ (a - bi)^{n} = x - yi.}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ (a^{2} + b^{2})^{n} = (x + yi)(x - yi) = x^{2} + y^{2}, \ x, y\in \mathbb{Z}.}\)
(a^{2} + b^{2})^{n} = (a + bi)^{n}(a - bi)^{n}}\)
\(\displaystyle{ (a + bi)^{n} = x + yi}\) przy czym \(\displaystyle{ x, y\in\mathbb{Z},}\) bo zbiór \(\displaystyle{ \{u + vi\ : \ u,v \in\mathbb{Z} \}}\) jest zamknięty ze względu na mnożenie. Ponadto działając na obie strony tej równości sprzężeniem dostajemy \(\displaystyle{ (a - bi)^{n} = x - yi.}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ (a^{2} + b^{2})^{n} = (x + yi)(x - yi) = x^{2} + y^{2}, \ x, y\in \mathbb{Z}.}\)