Pierwiastki stopnia 6

Trampek · Post autor: **Trampek** » 3 lut 2009, o 22:43

Jak znaleźć pierwiastki stopnia 6 z liczby \(\displaystyle{ (1-i)^{12}}\), czyli inaczej \(\displaystyle{ \sqrt[6]{ (1-i)^{12} }}\) (pierwiastki w postaci algebraicznej)

elowata · Post autor: **elowata** » 3 lut 2009, o 23:09

A próbowałeś ze wzoru na pierwiastki stopnia n z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z \neq 0}\) o argumencie \(\displaystyle{ \varphi}\) ?

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 3 lut 2009, o 23:15

\(\displaystyle{ z^6 = (1-i)^{12}}\)

Zgadujemy jedno rozwiązanie (pierwiastkując stopniem 6 obustronnie):

\(\displaystyle{ z = (1-i)^2 \ \iff \ z = 1-2i-1 = -2i}\)

Teraz korzystamy z tego, że mnożąc jeden z pierwiastków równania kolejno przez pierwiastki z jedności (w tym przypadku stopnia 6) otrzymamy wszystkie pierwiastki.

Oblicz \(\displaystyle{ \sqrt[6]{1}}\) i wyniki przemnóż przez \(\displaystyle{ -2i}\).

Pzdr.