Liczby zespolone u i v spełniają warunki:
\(\displaystyle{ u^{5}=v^{5}, \ u^{17}=v^{17}}\)
Czy u=v? Odpowiedź uzasadnij.
No i teraz tak się zastanawiam czy autorowi zadania chodzi tutaj o wszystkie pierwiastki? czy tylko chodzi tutaj o wybrany np 1 pierwiastek
dwa warunki
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
dwa warunki
Jeśli \(\displaystyle{ v = 0,}\) to \(\displaystyle{ u = 0 = v}\) koniec dowodu.
Jeśli \(\displaystyle{ v \neq 0}\) to \(\displaystyle{ v^{5} \neq 0\neq v^{17},}\) dzielimy każdą z danych równości przez to co po prawej dostając \(\displaystyle{ \left(\frac{u}{v}\right)^{5} = 1}\) oraz \(\displaystyle{ \left(\frac{u}{v}\right)^{17} = 1}\) ponieważ \(\displaystyle{ 5, 17}\) są względnie pierwsze, to jedyną liczbą zespoloną będącą jednocześnie pierwiastkiem stopnia 5 i stopnia 17 z jedynki jest jedynka, więc \(\displaystyle{ \frac{u}{v} = 1}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ u = v.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ v \neq 0}\) to \(\displaystyle{ v^{5} \neq 0\neq v^{17},}\) dzielimy każdą z danych równości przez to co po prawej dostając \(\displaystyle{ \left(\frac{u}{v}\right)^{5} = 1}\) oraz \(\displaystyle{ \left(\frac{u}{v}\right)^{17} = 1}\) ponieważ \(\displaystyle{ 5, 17}\) są względnie pierwsze, to jedyną liczbą zespoloną będącą jednocześnie pierwiastkiem stopnia 5 i stopnia 17 z jedynki jest jedynka, więc \(\displaystyle{ \frac{u}{v} = 1}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ u = v.}\)
-
Atraktor
- Użytkownik
- Posty: 670
- Rejestracja: 2 paź 2007, o 16:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Grodzisko/Wrocław
- Podziękował: 98 razy
- Pomógł: 37 razy
dwa warunki
a gdyby nie były one względnie pierwsze to zadanie zmieniło by swoje rozwiązanie? Pytam bo nie dokońca rozumiem o co tutaj chodzi z tymi liczbami względnie pierwszymi(tzn wiem co to są liczby względnie pierwsze ale nie wiem o co chodzi z niemi w tym zad.)
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
dwa warunki
Pierwiastki zespolone \(\displaystyle{ n}\)tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) to liczby postaci
\(\displaystyle{ \cos \frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n},}\) gdzie \(\displaystyle{ k=0,\ldots, n-1.}\)
Widać, że jeśli jakaś liczba jest \(\displaystyle{ n}\)tym i \(\displaystyle{ m}\)tym pierwiastkiem z jedynki, to jest równa
\(\displaystyle{ \cos \frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n} = \cos \frac{2l\pi}{m} + i\sin\frac{2l\pi}{m},}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \{0,\ldots, n-1\}, \ l\in \{0,\ldots, m-1\}}\)
a tak może być tylko wtedy gdy:
\(\displaystyle{ \frac{2k\pi}{n} = \frac{2l\pi}{m}}\) czyli gdy \(\displaystyle{ km = ln.}\) Teraz ponieważ \(\displaystyle{ m|ln}\) i \(\displaystyle{ m > l > 0}\) to nie może być \(\displaystyle{ m|l}\) a musiałoby tak być gdyby \(\displaystyle{ m, n}\) byłyby względnie pierwsze.
\(\displaystyle{ \cos \frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n},}\) gdzie \(\displaystyle{ k=0,\ldots, n-1.}\)
Widać, że jeśli jakaś liczba jest \(\displaystyle{ n}\)tym i \(\displaystyle{ m}\)tym pierwiastkiem z jedynki, to jest równa
\(\displaystyle{ \cos \frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n} = \cos \frac{2l\pi}{m} + i\sin\frac{2l\pi}{m},}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \{0,\ldots, n-1\}, \ l\in \{0,\ldots, m-1\}}\)
a tak może być tylko wtedy gdy:
\(\displaystyle{ \frac{2k\pi}{n} = \frac{2l\pi}{m}}\) czyli gdy \(\displaystyle{ km = ln.}\) Teraz ponieważ \(\displaystyle{ m|ln}\) i \(\displaystyle{ m > l > 0}\) to nie może być \(\displaystyle{ m|l}\) a musiałoby tak być gdyby \(\displaystyle{ m, n}\) byłyby względnie pierwsze.