pierwiastki wielomianu

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 3 lut 2009, o 16:31

liczby zespolone z1, z2, ... , z9 są pierwiastkami wielomianu:
\(\displaystyle{ z^{9} +13 z^{8} +5 z - 2}\)
oblicz sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{9} (z_i)^{2}}\)

i teraz jak proponujecie poszukać te pierwiastki? jeśli tak to w jaki sposób?

no i mam pytanie czy jest możliwość szukania pierwiastków wielomianu w liczbach zespolonych w taki sam sposób jak pierwiastków wielomianu w liczbach rzeczywistych (chodzi o podzielniki wyrazu wolnego w wielomianie?)

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 3 lut 2009, o 16:42

Tu chodzi o zastosowanie wzorów Viete'a, a nie o szukanie pierwiastków.

Crizz · Post autor: **Crizz** » 3 lut 2009, o 16:43

Nie trzeba szukać tych pierwiastków, wystarczy skorzystać ze wzorów Viete'a:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{9}z_{k}=13}\)
\(\displaystyle{ \sum_{1 \le i<j \le 9}z_{i}z_{j} =0}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{9}(z_{k})^{2}=\left(\sum_{k=1}^{9}z_{k}\right)^{2}-2\sum_{1 \le i<j \le 9}z_{i}z_{j}=13^{2}-2\cdot 0=169}\)

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 3 lut 2009, o 17:14

Crizz, to co napisałem to zrozumiałem.

Mam jeszcze pytanie jest jakiś ogólny wzór na:
\(\displaystyle{ (a1+a2+...+an)^{2}}\)

-- 3 lutego 2009, 17:46 --

Mam teraz podobne zadanie:

Liczby zespolone a,b,c są pierwiastkami wielomianu:
\(\displaystyle{ w(z)= z^{3} +(1-2i)z +3-5i}\)

obliczyć wyznacznik:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{bmatrix}}\)

no i teraz dodając 2 wiersz do 1 wiersza oraz 3 wiersz do 1 wiersza otrzymam:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a+b+c&a+b+c&a+b+c\\c&a&b\\b&c&a\end{bmatrix}}\)
Następnie korzystając z wzorów Vieta mamy że nasze suma naszych pierwiastków a+b+c=0

zatem wyznacznik macierzy równy jest 0. Dobrze jest to zrobione?

oraz mam drugie pytanie jak w tym rówaniu mogą być 3 pierwiastki zespolone? skoro wiadomo, że zawsze skoro mamy pierwiastek "z" to mamy też "z sprzężone". Czyli nieparzysta ilość pierwiastków zespolonych jest nie możliwa.

-- 3 lutego 2009, 17:47 --

Atraktor pisze: no i mam pytanie czy jest możliwość szukania pierwiastków wielomianu w liczbach zespolonych w taki sam sposób jak pierwiastków wielomianu w liczbach rzeczywistych (chodzi o podzielniki wyrazu wolnego w wielomianie?)

oraz prosze mi jeszcze odpowiedzieć na to pytanie powyżej.

Crizz · Post autor: **Crizz** » 3 lut 2009, o 22:14

Atraktor pisze:
Mam jeszcze pytanie jest jakiś ogólny wzór na:
\(\displaystyle{ (a1+a2+...+an)^{2}}\)

\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)^{2}= \sum_{k=1}^{n}a_{k}+2 \cdot \sum_{1 \le i<j \le n}a_{i}a_{j}}\)

Atraktor pisze: oraz mam drugie pytanie jak w tym rówaniu mogą być 3 pierwiastki zespolone? skoro wiadomo, że zawsze skoro mamy pierwiastek "z" to mamy też "z sprzężone". Czyli nieparzysta ilość pierwiastków zespolonych jest nie możliwa.

Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma pierwiastek rzeczywisty, wynika to np. z twierdzenia Darboux: wielomian nieparzystego stopnia dąży na jednym krańcu dziedziny do plus, a na drugim krańcu do minus nieskończoności, czyli gdzieś osiąga wartość ujemną, a gdzieś dodatnią, skoro przechodzi przez wszystkie wartości pośrednie, to także przez zero. Wniosek: każdy wielomian nieparzystego stopnia ma rzeczywiste miejsce zerowe.

Atraktor pisze:
Mam teraz podobne zadanie:

Liczby zespolone a,b,c są pierwiastkami wielomianu:
\(\displaystyle{ w(z)= z^{3} +(1-2i)z +3-5i}\)

obliczyć wyznacznik:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{bmatrix}}\)

no i teraz dodając 2 wiersz do 1 wiersza oraz 3 wiersz do 1 wiersza otrzymam:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a+b+c&a+b+c&a+b+c\\c&a&b\\b&c&a\end{bmatrix}}\)
Następnie korzystając z wzorów Vieta mamy że nasze suma naszych pierwiastków a+b+c=0

zatem wyznacznik macierzy równy jest 0. Dobrze jest to zrobione?

Dobrze.

Atraktor pisze:
Atraktor pisze: no i mam pytanie czy jest możliwość szukania pierwiastków wielomianu w liczbach zespolonych w taki sam sposób jak pierwiastków wielomianu w liczbach rzeczywistych (chodzi o podzielniki wyrazu wolnego w wielomianie?)
oraz prosze mi jeszcze odpowiedzieć na to pytanie powyżej.

Wątpię, nigdy się nad tym nie zastanawiałem

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 3 lut 2009, o 23:20

Atraktor pisze:no i mam pytanie czy jest możliwość szukania pierwiastków wielomianu w liczbach zespolonych w taki sam sposób jak pierwiastków wielomianu w liczbach rzeczywistych (chodzi o podzielniki wyrazu wolnego w wielomianie?)

Cytuję notkę z wykładu:

"Jeśli \(\displaystyle{ W(z)}\) jest wielomianem zmiennej zespolonej o współrzędnych rzeczywistych i \(\displaystyle{ z_0}\) jest pierwiastkiem całkowitym wielomianu \(\displaystyle{ W}\), to \(\displaystyle{ z_0}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ a_0}\)." (<- wyraz wolny)

Pozdrawiam.

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 3 lut 2009, o 23:30

Dedemonn a kiedy liczba zespolona jest dzielnikiem liczby rzeczywistej?

bo np mamy
\(\displaystyle{ X^{2}+1}\)
x1=i
x2=-i
dzieląc np \(\displaystyle{ \frac{1}{i}}\) otrzymuję -i. zatem mogę stwierdzić że i jest dzielnikiem liczby 1?

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 3 lut 2009, o 23:43

Niestety nie znam odpowiedzi na to pytanie. Definicji podzielności dla liczb zespolonych również nigdzie nie znalazłem..