równanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
h3X
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 21 paź 2008, o 12:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 16 razy

równanie

Post autor: h3X »

prosze o pomoc.

Rozwiąż w ciele liczb zespolonych równanie:

\(\displaystyle{ z^{2} - 4z + 4 + i = 0}\)
Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

równanie

Post autor: Dedemonn »

Postępujemy jak z normalnym równaniem rzeczywistym.

\(\displaystyle{ \Delta = (-4)^2-4(4+i) = 16-16-4i = -4i \ \Rightarrow \ \sqrt{\Delta} = \sqrt{-4i}}\)

Pierwiastki z liczby mam nadzieję potrafisz liczyć, więc wyliczamy te 2 wartości i wstawiamy do wyników:

\(\displaystyle{ z_1 = \frac{4+\sqrt{\Delta}}{2} \\ z_2 = \frac{4+\sqrt{\Delta}}{2}}\)


Pozdrawiam.
h3X
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 21 paź 2008, o 12:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 16 razy

równanie

Post autor: h3X »

i właśnie dochodziłam do tego momentu i tu pojawia mi się pytanie. czy \(\displaystyle{ \sqrt{-4i} = 2}\)?
Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

równanie

Post autor: Dedemonn »

A czy \(\displaystyle{ 2^2 = -4i}\)?

Zatem nie umiemy liczyć pierwiastków.

Przyjmujemy, że pierwiastek z \(\displaystyle{ -4i}\) to jakaś liczba zespolona, powiedzmy \(\displaystyle{ a+bi}\). Zatem robimy sobie równanie:

\(\displaystyle{ \sqrt{-4i} = a+bi}\)

Podnosimy obie strony do kwadratu:

\(\displaystyle{ -4i = a^2-b^2+2abi}\)

Wiemy, że 2 liczby zespolone są sobie równe, gdy mają równe częsci rzecz. i urojone. Zatem przyrównujemy i robimy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2 = 0 \\ 2ab = -4 \end{cases}}\)

Rozwiąż ten układ równań, a otrzymasz 2 pary liczb a,b , czyli 2 liczby zespolone postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) .

To są szukane pierwiastki, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\). Wstawiamy obydwa do \(\displaystyle{ z_1 , z_2}\) i cieszymy się wynikiem.


Pozdrawiam.
h3X
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 21 paź 2008, o 12:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 16 razy

równanie

Post autor: h3X »

pierwiastkami są \(\displaystyle{ z_{1}= \frac{6-i}{2} , z_{2}= \frac{2+i}{2}}\)?
ODPOWIEDZ