prosze o pomoc.
Rozwiąż w ciele liczb zespolonych równanie:
\(\displaystyle{ z^{2} - 4z + 4 + i = 0}\)
równanie
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
równanie
Postępujemy jak z normalnym równaniem rzeczywistym.
\(\displaystyle{ \Delta = (-4)^2-4(4+i) = 16-16-4i = -4i \ \Rightarrow \ \sqrt{\Delta} = \sqrt{-4i}}\)
Pierwiastki z liczby mam nadzieję potrafisz liczyć, więc wyliczamy te 2 wartości i wstawiamy do wyników:
\(\displaystyle{ z_1 = \frac{4+\sqrt{\Delta}}{2} \\ z_2 = \frac{4+\sqrt{\Delta}}{2}}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \Delta = (-4)^2-4(4+i) = 16-16-4i = -4i \ \Rightarrow \ \sqrt{\Delta} = \sqrt{-4i}}\)
Pierwiastki z liczby mam nadzieję potrafisz liczyć, więc wyliczamy te 2 wartości i wstawiamy do wyników:
\(\displaystyle{ z_1 = \frac{4+\sqrt{\Delta}}{2} \\ z_2 = \frac{4+\sqrt{\Delta}}{2}}\)
Pozdrawiam.
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
równanie
A czy \(\displaystyle{ 2^2 = -4i}\)?
Zatem nie umiemy liczyć pierwiastków.
Przyjmujemy, że pierwiastek z \(\displaystyle{ -4i}\) to jakaś liczba zespolona, powiedzmy \(\displaystyle{ a+bi}\). Zatem robimy sobie równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{-4i} = a+bi}\)
Podnosimy obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ -4i = a^2-b^2+2abi}\)
Wiemy, że 2 liczby zespolone są sobie równe, gdy mają równe częsci rzecz. i urojone. Zatem przyrównujemy i robimy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2 = 0 \\ 2ab = -4 \end{cases}}\)
Rozwiąż ten układ równań, a otrzymasz 2 pary liczb a,b , czyli 2 liczby zespolone postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) .
To są szukane pierwiastki, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\). Wstawiamy obydwa do \(\displaystyle{ z_1 , z_2}\) i cieszymy się wynikiem.
Pozdrawiam.
Zatem nie umiemy liczyć pierwiastków.
Przyjmujemy, że pierwiastek z \(\displaystyle{ -4i}\) to jakaś liczba zespolona, powiedzmy \(\displaystyle{ a+bi}\). Zatem robimy sobie równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{-4i} = a+bi}\)
Podnosimy obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ -4i = a^2-b^2+2abi}\)
Wiemy, że 2 liczby zespolone są sobie równe, gdy mają równe częsci rzecz. i urojone. Zatem przyrównujemy i robimy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2 = 0 \\ 2ab = -4 \end{cases}}\)
Rozwiąż ten układ równań, a otrzymasz 2 pary liczb a,b , czyli 2 liczby zespolone postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) .
To są szukane pierwiastki, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\). Wstawiamy obydwa do \(\displaystyle{ z_1 , z_2}\) i cieszymy się wynikiem.
Pozdrawiam.