pierwiastek piątego stopnia z -1

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Galactico
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 231
Rejestracja: 1 lut 2006, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 9 razy

pierwiastek piątego stopnia z -1

Post autor: Galactico »

Hey! Bardzo proszę o pomoc z takim zadaniem:
Oblicz wartość wyrażenia: \(\displaystyle{ z^{5}+1=0}\).
Oczywiście należy tutaj przenieść jedynkę na prawo i mamy \(\displaystyle{ z^{5}=-1}\). I teraz wystarczy używać wzorów na pierwiastek liczby zespolonej, z tym że przy cosinusach i sinusach wychodzą mi kąty w rodzaju \(\displaystyle{ \frac{\pi}{5}}\) albo \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{5}}\), co nie pozwala mi na wyliczenie dokładnych wartości tych pierwiastków. Czy ktoś wie, jak ominąć ten problem? Jak sprawić, że te ułamki nie będą kłopotliwe?
Z góry dziękuję za wszelką pomoc!
Pozdrawiam!
miodzio1988

pierwiastek piątego stopnia z -1

Post autor: miodzio1988 »

kolega pokaze jak koledze wychodzą takie kąty...bo z tego co pamietam to w tym zadaniu akurat bardzo ladne katy są. Moze kolega zle do wzoru podstawia??
Galactico
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 231
Rejestracja: 1 lut 2006, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 9 razy

pierwiastek piątego stopnia z -1

Post autor: Galactico »

No więc tak:
\(\displaystyle{ cos \phi = -1 \\
sin \phi = 0 \\
\phi = \pi \\ \\
z = w_{k} = \sqrt[5]{1} (cos \frac{\pi + 2k \pi}{5} + isin \frac{\pi + 2k \pi}{5}) \ k=0,1,2,3,4\\ \\
w_{0} = (cos \frac{\pi}{5} + isin \frac{\pi}{5}) = ? \\ \\
w_{1} = (cos \frac{3 \pi}{5} + isin \frac{3 \pi}{5}) = ? \\ \\
w_{2} = (cos \frac{5 \pi}{5} + isin \frac{5 \pi}{5}) = -1 \\ \\
w_{3} = (cos \frac{7 \pi}{5} + isin \frac{7 \pi}{5}) = ? \\ \\
w_{4} = (cos \frac{9 \pi}{5} + isin \frac{9 \pi}{5}) = ? \\ \\}\)

No i właśnie o te kąty mi chodzi, których cos i sin nie łatwo jest znaleźć...
ODPOWIEDZ