Witam!
Mam pytanie, jak obliczyć korzystając z liczb zespolonych \(\displaystyle{ sin \frac{ \prod}{8}}\) oraz \(\displaystyle{ cos \frac{ \prod}{8}}\) ?
Z góry dziekuje za podpowiedź.
puenti
liczby zespolone
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
liczby zespolone
No mozna np tak:
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{8}=\Im \left( \cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right)=
\Im \left( \frac{ e^{i\frac{\pi}{8}} + e^{-i\frac{\pi}{8}} }{2} \right)=
\Im \left( \frac{e^{i\frac{\pi}{4}\cdot \frac{1}{2}}+e^{-i\frac{\pi}{4}\cdot \frac{1}{2}} }{2} \right)=
\Im \left( \frac{\sqrt{e} e^{i\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{\sqrt{e}}e^{-i\frac{\pi}{4}} }{2} \right)=
\Im \left( \frac{\sqrt{e} (\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{\sqrt{e}}(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}) }{2} \right)=
\frac{ \sqrt{e}\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} }{4}=
\frac{ \sqrt{2e}-\frac{\sqrt{2e}}{e} }{4}=
\frac{ e\sqrt{2e}-\sqrt{2e} }{4e}=
\frac{ \sqrt{2e}(e-1) }{4e}}\)
Analogicznie dla cosinusa.
Nie wiem czy o to chodzilo...
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{8}=\Im \left( \cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right)=
\Im \left( \frac{ e^{i\frac{\pi}{8}} + e^{-i\frac{\pi}{8}} }{2} \right)=
\Im \left( \frac{e^{i\frac{\pi}{4}\cdot \frac{1}{2}}+e^{-i\frac{\pi}{4}\cdot \frac{1}{2}} }{2} \right)=
\Im \left( \frac{\sqrt{e} e^{i\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{\sqrt{e}}e^{-i\frac{\pi}{4}} }{2} \right)=
\Im \left( \frac{\sqrt{e} (\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{\sqrt{e}}(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}) }{2} \right)=
\frac{ \sqrt{e}\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} }{4}=
\frac{ \sqrt{2e}-\frac{\sqrt{2e}}{e} }{4}=
\frac{ e\sqrt{2e}-\sqrt{2e} }{4e}=
\frac{ \sqrt{2e}(e-1) }{4e}}\)
Analogicznie dla cosinusa.
Nie wiem czy o to chodzilo...
Pozdrawiam.
-
puenti
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 1 lut 2009, o 20:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
liczby zespolone
soku11 pisze:No mozna np tak:
(...)
Nie wiem czy o to chodzilo...
Dzięki za rozwiązanie.
Czy nie da się tego rozwiązać by w wyniku nie występowała liczba Eulera.
Pozdrawiam
puenti
-
puenti
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 1 lut 2009, o 20:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
liczby zespolone
Czyli jak do tego się zabrać?
Wiem tylko tyle, że
\(\displaystyle{ sin \frac{ \pi}{8}{=}\frac{1}{2} \sqrt{2- \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ cos \frac{ \pi}{8}{=}\frac{1}{2} \sqrt{2+ \sqrt{2} }}\)
ale jak do tego dojść???
Pozdrawiam
puenti
Wiem tylko tyle, że
\(\displaystyle{ sin \frac{ \pi}{8}{=}\frac{1}{2} \sqrt{2- \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ cos \frac{ \pi}{8}{=}\frac{1}{2} \sqrt{2+ \sqrt{2} }}\)
ale jak do tego dojść???
Pozdrawiam
puenti
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
liczby zespolone
Noo np. tak
\(\displaystyle{ z=x+yi=\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\\z^2=x^2-y^2+2xyi=\cos \frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}}\)
no i jest układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2-y^2=\frac{\sqrt{2}}{2}\\2xy=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z=x+yi=\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\\z^2=x^2-y^2+2xyi=\cos \frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}}\)
no i jest układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2-y^2=\frac{\sqrt{2}}{2}\\2xy=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)
-
puenti
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 1 lut 2009, o 20:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
liczby zespolone
teraz już wszystko jasne:)Lorek pisze:
no i jest układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2-y^2=\frac{\sqrt{2}}{2}\\2xy=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)
dzięki.
Pozdrawiam
puenti